Questão 3. Considere a equação do transporte
com a condição de fronteira
.
(b) Para
, mostre que a EDP (1) tem várias soluções.
(b) Para
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial parcial
com a condição de fronteira na linha
A pergunta (b) pede: para
, mostrar que a EDP tem várias (isto é, não únicas) soluções.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A EDP e a condição de contorno
. - Na parte (b) temos
, ou seja, a condição na fronteira é .
Passo 2
Ideia do método de características (explicação didática e passo a passo).
Quando se tem uma EDP de transporte linear na forma , a solução é constante ao longo de curvas chamadas características, que são as trajetórias definidas pelo sistema de ODEs
Quando se tem uma EDP de transporte linear na forma
Aqui,
é um parâmetro que percorre a curva;
descrevem a curva no plano, e
varia segundo
No nosso caso temos
e
. Portanto o sistema de características é
Explicando cada equação:
-
diz como avança com o parâmetro . -
diz como varia ao longo da característica. -
resulta diretamente de substituir e na combinação para ; essa última equação significa que é constante ao longo de cada característica.
Passo 3
Resolver o sistema de características (passo a passo das integrações).
Integrando a primeira equação obtemos
Integrando a primeira equação obtemos
onde
é constante de integração (que depende da característica).
Para resolvemos
Para
ou seja
onde
é outra constante (podemos considerar
possivelmente nula).
Agora podemos eliminar o parâmetro . Da primeira equação temos
. Substituindo em
obtemos
Agora podemos eliminar o parâmetro
É conveniente formar uma combinação invariante sob deslocamentos ao longo da característica. Reorganizando, uma quantidade constante ao longo da característica é
Aqui
é constante ao longo de cada característica (isto vem de integrar
, que dá
e portanto
). Como
,
é constante numa característica, então
pode ser escrito como função dessa constante
. Assim a forma geral das soluções (em domínio onde a construção vale) é
onde
é uma função arbitrária (aquela que dá o valor constante em cada característica). Aqui eu explicitei que
é arbitrária: é a liberdade que aparece porque
é apenas exigida ser constante em cada curva
const.
Passo 4
Verificar que a expressão encontrada satisfaz a EDP (calculemos as derivadas e mostremos que a equação é satisfeita).
Seja com
. Então, por regra da cadeia,
Seja
Agora formamos
:
Portanto a forma
satisfaz mesmo a EDP para qualquer
diferenciável (a expressão é válida também por continuação quando
).
Passo 5
Impor a condição de fronteira
e concluir sobre não unicidade.
A condição de contorno impõe, para ,
A condição de contorno impõe, para
Logo a condição na fronteira diz apenas que
Não há outra restrição a
. Portanto qualquer função
que satisfaça
produz uma solução
que cumpre simultaneamente a EDP e a condição na fronteira. Como existem infinitas funções
com
, a EDP tem infinitas soluções — isto é, não há unicidade para este problema de contorno específico.
Passo 6
Exemplos concretos (para fixar a ideia).
Algumas escolhas de que satisfazem
e, portanto, geram soluções:
Algumas escolhas de
etc. Todas essas satisfazem
e
. Isso mostra explicitamente que há várias soluções.
Resposta
A EDP admite infinitas soluções da forma
com qualquer função
tal que
. Exemplos:
,
,
, etc.