Questão 8. Considere o escoamento bidimensional devido a uma corrente uniforme horizontal U_{\infty} passando por uma fonte q. Descreva o escoamento (potencial complexo, velocidade complexa, o(s) ponto(s) de estagnação e equação da linha separatriz). Determine a espessura em um ponto muito distante a jusante ( x \rightarrow \infty ) do corpo semi-infinito gerado.

Passo 1

O enunciado trata de um escoamento bidimensional que é a superposição de uma corrente uniforme horizontal de intensidade \,U_\infty, e de uma fonte puntiforme de vazão \,q, colocada na origem. Precisamos obter o potencial complexo, a velocidade complexa, identificar o(s) ponto(s) de estagnação, escrever a equação da linha separatriz (que gera o contorno de um corpo semi-infinito downstream) e, por fim, calcular a “espessura” desse corpo num ponto muito distante a jusante x\to\infty.

Passo 2

O potencial complexo w(z) é a soma do potencial da corrente uniforme com o da fonte. Em z=x+iy vale
w(z)=U_\infty\,z+\frac{q}{2\pi}\ln z.
Separando em partes real e imaginária, o potencial de velocidade é \displaystyle \varphi(x,y)=U_\infty x+\frac{q}{2\pi}\ln\sqrt{x^2+y^2}
e a corrente de fluxo é \displaystyle \psi(x,y)=U_\infty y+\frac{q}{2\pi}\arg(z),
onde \arg(z)=\arctan\frac{y}{x} (no ramo principal).

Passo 3

A velocidade complexa é a derivada
w'(z)=\frac{dw}{dz} =U_\infty+\frac{q}{2\pi\,z}.
Em componentes reais, \displaystyle u=\Re\bigl[w'(z)\bigr], e \displaystyle v=\Im\bigl[w'(z)\bigr].

Passo 4

Os pontos de estagnação satisfazem w'(z)=0, ou seja
U_\infty+\frac{q}{2\pi\,z}=0 \quad\Longrightarrow\quad z=-\frac{q}{2\pi\,U_\infty}.
É um único ponto sobre o eixo x negativo, em \displaystyle x_0=-\frac{q}{2\pi\,U_\infty},\;y_0=0.

Passo 5

A linha separatriz é a linha de corrente que passa por esse ponto de estagnação. O valor de \psi ali é \displaystyle \psi_0 =U_\infty\cdot0+\frac{q}{2\pi}\pi =\frac{q}{2}.
Logo a equação implícita do contorno é
\psi(x,y)=U_\infty\,y+\frac{q}{2\pi}\arctan\frac{y}{x} =\frac{q}{2}.

Passo 6

Para x\to\infty espera-se y\ll x, então \arctan(y/x)\approx y/x. Substituindo em \displaystyle U_\infty\,y+\frac{q}{2\pi}\frac{y}{x}=\frac{q}{2}
temos
y\Bigl(U_\infty+\tfrac{q}{2\pi\,x}\Bigr) =\frac{q}{2} \;\xrightarrow[x\to\infty]{}\; y_\infty=\frac{q}{2\,U_\infty}.
Como o corpo é simétrico acima e abaixo do eixo, a espessura total fica
\boxed{\text{espessura}\;=\;2\,y_\infty =\frac{q}{U_\infty}.}

Resposta

Potencial complexo:
w(z)=U_\infty\,z+\frac{q}{2\pi}\ln z.
Velocidade complexa:
w'(z)=U_\infty+\frac{q}{2\pi\,z}.
Ponto de estagnação: \displaystyle z_0=-\frac{q}{2\pi\,U_\infty}.
Linha separatriz (contorno do corpo):
U_\infty\,y+\frac{q}{2\pi}\arctan\frac{y}{x} =\frac{q}{2}.
Espessura a jusante x\to\infty: \displaystyle \delta=\frac{q}{U_\infty}.

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