Questão 8. Considere o escoamento bidimensional devido a uma corrente uniforme horizontal U_{\infty} passando por uma fonte q. Descreva o escoamento (potencial complexo, velocidade complexa, o(s) ponto(s) de estagnação e equação da linha separatriz). Determine a espessura em um ponto muito distante a jusante ( x \rightarrow \infty ) do corpo semi-infinito gerado.
Passo 1
O enunciado trata de um escoamento bidimensional que é a superposição de uma corrente uniforme horizontal de intensidade \,U_\infty, e de uma fonte puntiforme de vazão \,q, colocada na origem. Precisamos obter o potencial complexo, a velocidade complexa, identificar o(s) ponto(s) de estagnação, escrever a equação da linha separatriz (que gera o contorno de um corpo semi-infinito downstream) e, por fim, calcular a “espessura” desse corpo num ponto muito distante a jusante x\to\infty.
Passo 2
O potencial complexo w(z) é a soma do potencial da corrente uniforme com o da fonte. Em z=x+iy vale
w(z)=U_\infty\,z+\frac{q}{2\pi}\ln z.
Separando em partes real e imaginária, o potencial de velocidade é \displaystyle \varphi(x,y)=U_\infty x+\frac{q}{2\pi}\ln\sqrt{x^2+y^2}
e a corrente de fluxo é \displaystyle \psi(x,y)=U_\infty y+\frac{q}{2\pi}\arg(z),
onde \arg(z)=\arctan\frac{y}{x} (no ramo principal).
Passo 3
A velocidade complexa é a derivada
w'(z)=\frac{dw}{dz} =U_\infty+\frac{q}{2\pi\,z}.
Em componentes reais, \displaystyle u=\Re\bigl[w'(z)\bigr], e \displaystyle v=\Im\bigl[w'(z)\bigr].
Passo 4
Os pontos de estagnação satisfazem w'(z)=0, ou seja
É um único ponto sobre o eixo x negativo, em \displaystyle x_0=-\frac{q}{2\pi\,U_\infty},\;y_0=0.
Passo 5
A linha separatriz é a linha de corrente que passa por esse ponto de estagnação. O valor de \psi ali é \displaystyle \psi_0
=U_\infty\cdot0+\frac{q}{2\pi}\pi
=\frac{q}{2}.
Logo a equação implícita do contorno é