Questão 6. Um dipolo com eixo horizontal no sentido positivo de x é descrito como a combinação de um fonte q em z=a e um sumidouro -q em z=-a, sendo a \in \mathbb{R} no limite a \rightarrow 0, q \rightarrow \infty, 2 q a \rightarrow \mu,
F(z)=\lim _{\substack{a \rightarrow 0 \\\\ 2 q a \rightarrow \mu}}\left[\frac{q}{2 \pi} \ln (z-a)-\frac{q}{2 \pi} \ln (z+a)\right]
sendo \mu uma constante finita. Mostre que
F(z)=-\frac{\mu}{2 \pi z} .
Dica: (z+a)=z(1+a / z)
\ln (1+\varepsilon)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \varepsilon^{n}, \forall \varepsilon<1

Passo 1

O enunciado descreve o potencial de um dipolo no plano complexo como
F(z)=\lim_{\substack{a\to0\\\ 2qa\to\mu}}\Bigl[\frac{q}{2\pi}\ln(z - a)\;-\;\frac{q}{2\pi}\ln(z + a)\Bigr],
onde a dica nos lembra que podemos usar a fatoração
z\pm a \;=\; z\bigl(1\pm \tfrac{a}{z}\bigr)
e a série de Taylor
\ln(1+\varepsilon)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}\,\varepsilon^n,\quad|\varepsilon|<1.
O objetivo é extrair o termo de ordem mais baixa em a e depois aplicar o limite a\to0 com 2qa\to\mu.

Passo 2

Escrevemos cada logaritmo de modo a isolar \ln z:
\ln(z\pm a) =\ln z+\ln\bigl(1\pm\tfrac{a}{z}\bigr).
Logo
\ln(z - a)-\ln(z + a) =\ln\!\bigl(1-\tfrac{a}{z}\bigr)\;-\;\ln\!\bigl(1+\tfrac{a}{z}\bigr).

Passo 3

Defina \varepsilon=a/z com |\varepsilon|<1. Pelo desenvolvimento em série, até ordem \varepsilon^3:
\ln(1-\varepsilon)=-\varepsilon-\tfrac{\varepsilon^2}{2}-\tfrac{\varepsilon^3}{3}-\cdots, \quad \ln(1+\varepsilon)=\varepsilon-\tfrac{\varepsilon^2}{2}+\tfrac{\varepsilon^3}{3}-\cdots.
Subtraindo, os termos de ordem par cancelam e obtemos
\ln(1-\varepsilon)-\ln(1+\varepsilon) =-2\varepsilon+\mathcal O(\varepsilon^3) =-2\,\frac{a}{z}+\mathcal O\bigl(\tfrac{a^3}{z^3}\bigr).

Passo 4

Substituindo na expressão de F(z):
F(z) =\frac{q}{2\pi}\Bigl[-2\,\frac{a}{z}+\mathcal O(a^3)\Bigr] =-\frac{qa}{\pi\,z}+\mathcal O(q\,a^3).
Na condição de dipolo temos 2qa\to\mu, logo qa\to\mu/2, e todos os termos de ordem superior em a vão a zero quando a\to0. Portanto
F(z)\;\longrightarrow\;-\frac{\mu/2}{\pi\,z} =-\frac{\mu}{2\pi\,z}.

Resposta

F(z)=-\frac{\mu}{2\pi\,z}.

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