Questão 7. Mostre que a distribuição do coeficiente de pressão sobre a superfície de um cilindro submetido a um escoamento horizontal é
C_{p}=1-4 \operatorname{sen}^{2} \theta .
Calcule o coeficiente de arrasto sobre esse cilindro e discuta o paradoxo de D’Alembert a partir do resultado.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, num escoamento potencial horizontal de velocidade freestream U_\infty em torno de um cilindro de raio a, o coeficiente de pressão sobre a superfície do cilindro é
C_{p}(\theta)=1-4\sin^{2}\theta,
e, em seguida, calcularmos o coeficiente de arrasto desse cilindro e discutirmos o paradoxo de D’Alembert.
Conteúdo: escoamento potencial em coordenadas polares, velocidade tangencial na superfície, equação de Bernoulli para fluido incompressível invíscido e integral de arrasto por pressão.

Passo 2

Em escoamento potencial de um cilindro em coordenadas polares (r,\theta), o potencial de velocidade é
\Phi(r,\theta)=U_\infty\left(r+\frac{a^{2}}{r}\right)\cos\theta.
A partir de \Phi, obtém-se a velocidade tangencial na superfície r=a por
v_{\theta}(a,\theta)=\frac{1}{r}\frac{\partial\Phi}{\partial\theta}\bigg|_{r=a}=-2\,U_\infty\sin\theta.

Passo 3

Aplicamos a equação de Bernoulli entre um ponto no infinito, onde p=p_\infty e \lvert \mathbf{v}\rvert=U_\infty, e um ponto na superfície r=a, onde \lvert \mathbf{v}\rvert=|v_{\theta}|=2U_\infty|\sin\theta|. Para fluido incompressível invíscido:
p_\infty+\tfrac12\,\rho\,U_\infty^{2} =p(a,\theta)+\tfrac12\,\rho\,v_{\theta}^{2}(a,\theta).
Logo,
p(a,\theta)-p_\infty =\tfrac12\,\rho\Bigl(U_\infty^{2}-4\,U_\infty^{2}\sin^{2}\theta\Bigr) =\tfrac12\,\rho\,U_\infty^{2}\bigl(1-4\sin^{2}\theta\bigr).

Passo 4

Definindo o coeficiente de pressão como
C_{p}(\theta) =\frac{p(a,\theta)-p_\infty}{\tfrac12\,\rho\,U_\infty^{2}},
obtemos diretamente
C_{p}(\theta)=1-4\sin^{2}\theta,
conforme desejado.

Passo 5

O arrasto por pressão por unidade de comprimento do cilindro é
D'=\int_{0}^{2\pi} \bigl[-\,p(a,\theta)\bigr]\cos\theta\;a\,d\theta.
Em termos de C_{p}:
D' =-\,\tfrac12\,\rho\,U_\infty^{2}\,a \int_{0}^{2\pi} C_{p}(\theta)\cos\theta\,d\theta.
Mas
\int_{0}^{2\pi} \bigl(1-4\sin^{2}\theta\bigr)\cos\theta\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta -4\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\cos\theta\,d\theta =0-0=0.
Portanto D'=0 e o coeficiente de arrasto adimensional, definido por
C_{D}=\frac{D'}{\tfrac12\,\rho\,U_\infty^{2}\,(2a)},
também é zero:
C_{D}=0.

Passo 6

O resultado C_{D}=0 em escoamento potencial invíscido contradiz a experiência, em que o cilindro sofre arrasto significativo. Essa discrepância é o paradoxo de D’Alembert: as equações de Euler para fluido invíscido e incompressível prevêem arrasto nulo sobre corpos, mas na prática a viscosidade gera camadas limites, separação e pressão de reboque, produzindo arrasto real não nulo. A teoria de Lord Rayleigh e Prandtl (camada limite) resolve o paradoxo incluindo efeitos viscosos mesmo em escoamento de Reynolds alto.

Resposta

O coeficiente de pressão sobre o cilindro é
C_{p}(\theta)=1-4\sin^{2}\theta.
O coeficiente de arrasto em escoamento potencial invíscido é
C_{D}=0,
o que ilustra o paradoxo de D’Alembert.

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