Questão 7. Mostre que a distribuição do coeficiente de pressão sobre a superfície de um cilindro submetido a um escoamento horizontal é
C_{p}=1-4 \operatorname{sen}^{2} \theta .
Calcule o coeficiente de arrasto sobre esse cilindro e discuta o paradoxo de D’Alembert a partir do resultado.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, num escoamento potencial horizontal de velocidade freestream U_\infty em torno de um cilindro de raio a, o coeficiente de pressão sobre a superfície do cilindro é
C_{p}(\theta)=1-4\sin^{2}\theta,
e, em seguida, calcularmos o coeficiente de arrasto desse cilindro e discutirmos o paradoxo de D’Alembert.
Conteúdo: escoamento potencial em coordenadas polares, velocidade tangencial na superfície, equação de Bernoulli para fluido incompressível invíscido e integral de arrasto por pressão.
Passo 2
Em escoamento potencial de um cilindro em coordenadas polares (r,\theta), o potencial de velocidade é
Aplicamos a equação de Bernoulli entre um ponto no infinito, onde p=p_\infty e \lvert \mathbf{v}\rvert=U_\infty, e um ponto na superfície r=a, onde \lvert \mathbf{v}\rvert=|v_{\theta}|=2U_\infty|\sin\theta|. Para fluido incompressível invíscido:
O resultado C_{D}=0 em escoamento potencial invíscido contradiz a experiência, em que o cilindro sofre arrasto significativo. Essa discrepância é o paradoxo de D’Alembert: as equações de Euler para fluido invíscido e incompressível prevêem arrasto nulo sobre corpos, mas na prática a viscosidade gera camadas limites, separação e pressão de reboque, produzindo arrasto real não nulo. A teoria de Lord Rayleigh e Prandtl (camada limite) resolve o paradoxo incluindo efeitos viscosos mesmo em escoamento de Reynolds alto.
Resposta
O coeficiente de pressão sobre o cilindro é
C_{p}(\theta)=1-4\sin^{2}\theta.
O coeficiente de arrasto em escoamento potencial invíscido é