4^a Questão - Considere o espaço P1(R) dos polinômios de grau até 1 com coeficientes reais. Tome o conjunto beta=-1-t, -t de P1(R).
b) Sabendo que a matriz mudança de base de uma certa base alpha para a base beta é dada por [I]beta^alpha=(cc-1 & 0 1 & -2), determine a base alpha correspondente e escreva o vetor valpha=3+5 t na base beta

Passo 1

O enunciado trabalha no espaço P1(R) e nos dá a base beta=-1-t,;-t. Conhecemos a matriz de mudança de base de uma base alpha para beta,
[I]beta^alpha = -1 & 0 1 & -2 ,
e precisamos (i) determinar alpha e (ii) escrever o vetor v=3+5t na base beta.

Passo 2

Lembrando que as colunas de [I]beta^alpha são as coordenadas de cada vetor de alpha em relação à base beta. Ou seja,
[alpha1]beta = -11, [alpha2]beta = 0-2

Passo 3

Para recuperar alpha1 escrevemos
alpha1 = (-1)cdot(-1-t) + 1cdot(-t) = 1+t-t = 1

Passo 4

Para alpha2 fazemos
alpha2 = 0cdot(-1-t) + (-2)cdot(-t) = 2t

Passo 5

Portanto a base alpha é
alpha=,1,;2t

Passo 6

Agora escrevemos v=3+5t como combinação de beta1=-1-t e beta2=-t:
a(-1-t)+b(-t)=3+5t
Isso dá o sistema
-a=3, (-a-b)=5,
cuja solução é a=-3 e b=-2.

Resposta

A base alpha é ,1,;2t.
As coordenadas de v=3+5t na base beta são
[v]beta = -3-2

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