Seja F: R^3 R^2 definida por F(x, y, z)=(z, y+x). Determine a matriz de F em relação às bases beta=(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0) e a base canônica para R^2.

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear F:R^3toR^2 por
F(x,y,z)=(z,;x+y)
Queremos a matriz de F na base beta=v1,v2,v3 do domínio, em que
v1=(1,1,1),;v2=(1,1,0),;v3=(1,0,0),
e na base canônica e1,e2 de R^2. Para isso, basta calcular as imagens F(vi) e escrever essas imagens como colunas na matriz.

Passo 2

Calculamos cada imagem:
v1=(1,1,1) Rightarrow
F(v1)=F(1,1,1)=(1,;1+1)=(1,2)
v2=(1,1,0) Rightarrow
F(v2)=F(1,1,0)=(0,;1+1)=(0,2)
v3=(1,0,0) Rightarrow
F(v3)=F(1,0,0)=(0,;1+0)=(0,1)

Passo 3

Como a base do contradomínio é a canônica, as coordenadas de cada F(vi) são elas mesmas. Logo, a matriz de F em relação a beta e à base canônica é
[F]beta,e= 1 & 0 & 0 2 & 2 & 1 ,
onde a primeira coluna é F(v1), a segunda é F(v2) e a terceira é F(v3).

Resposta

[F]beta,e= 1 & 0 & 0 2 & 2 & 1

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