O gerador E=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix} tem norma \|E\|=\sqrt{0^2+0^2+1^2+0^2}=1. Logo ele já é unitário e \{E\} é uma base ortonormal de \ker T.
varre todas as matrizes da forma \begin{pmatrix}x&y\\\ 0&z\end{pmatrix} com x,y,z\in\mathbb{R}. Assim \operatorname{Im}T tem dimensão 3 e pode ser descrita por
Cada uma pertence a \operatorname{Im}T (basta ajustar a,b,d para obter essas saídas).
Passo 7
Sob o produto interno de Frobenius, \langle E_{ij},E_{k\ell}\rangle=0 se (i,j)\neq(k,\ell) e \|E_{ij}\|=1. Portanto \{E_{11},E_{12},E_{22}\} é ortonormal.
Resposta
(a) Base ortonormal de \ker T: \displaystyle \Bigl\{\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix}\Bigr\}. (b) Base ortonormal de \operatorname{Im}T: \displaystyle \Bigl\{\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\,
\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\,
\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}\Bigr\}.