Questão 2 Seja T \in \mathcal{L}\left(\mathcal{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R})\right) tal que
T\left(\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} a+b & b \\\\ 0 & a+d \end{array}\right) .
Determine uma base ortonormal para:
(a) \operatorname{Ker}(T);
(b) \operatorname{Im}(T).

Passo 1

O enunciado define T\colon \mathcal{M}_{2\times2}(\mathbb{R})\to \mathcal{M}_{2\times2}(\mathbb{R}) por
T\bigl(\begin{smallmatrix}a&b\c&d\end{smallmatrix}\bigr) =\begin{pmatrix}a+b & b\\\ 0 & a+d\end{pmatrix},
e pede bases ortonormais de \ker T e \operatorname{Im}T, usando o produto interno de Frobenius \langle A,B\rangle=\mathrm{tr}(A^T B).

Passo 2

Para achar \ker T, escrevemos a condição T(a,b,c,d)=0. Os componentes dão o sistema
a+b=0,\quad b=0,\quad a+d=0.
Da segunda equação vem b=0. Então a=-b=0 e d=-a=0. O parâmetro c fica livre.

Passo 3

Concluímos
\ker T=\Bigl\{\begin{pmatrix}0&0\c&0\end{pmatrix}:c\in\mathbb{R}\Bigr\} =\mathrm{span}\Bigl\{\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix}\Bigr\}.

Passo 4

O gerador E=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix} tem norma \|E\|=\sqrt{0^2+0^2+1^2+0^2}=1. Logo ele já é unitário e \{E\} é uma base ortonormal de \ker T.

Passo 5

Para \operatorname{Im}T, note que
T(a,b,c,d)=\begin{pmatrix}a+b&b\\\ 0&a+d\end{pmatrix}
varre todas as matrizes da forma \begin{pmatrix}x&y\\\ 0&z\end{pmatrix} com x,y,z\in\mathbb{R}. Assim \operatorname{Im}T tem dimensão 3 e pode ser descrita por
\operatorname{Im}T =\Bigl\{\begin{pmatrix}x&y\\\ 0&z\end{pmatrix}:x,y,z\in\mathbb{R}\Bigr\}.

Passo 6

Escolhemos as matrizes padrão
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
Cada uma pertence a \operatorname{Im}T (basta ajustar a,b,d para obter essas saídas).

Passo 7

Sob o produto interno de Frobenius, \langle E_{ij},E_{k\ell}\rangle=0 se (i,j)\neq(k,\ell) e \|E_{ij}\|=1. Portanto \{E_{11},E_{12},E_{22}\} é ortonormal.

Resposta

(a) Base ortonormal de \ker T: \displaystyle \Bigl\{\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix}\Bigr\}. (b) Base ortonormal de \operatorname{Im}T: \displaystyle \Bigl\{\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\, \begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\, \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}\Bigr\}.

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