Questão 3 Verifique se as relações abaixo são produtos internos em \mathbb{R}^{2}. Justifique sua resposta em no máximo 3 linhas.
\left\langle\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right\rangle=x_{1} x_{2}+x_{1} y_{2}+y_{1} x_{2}+y_{1} y_{2};

Passo 1

O enunciado pede para verificar se \langle(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\rangle = x_{1}x_{2}+x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}
define um produto interno em \mathbb{R}^{2}. Vamos usar as três propriedades: bilinearidade, simetria e positividade definida.

Passo 2

Note que
\langle(x,y),(x,y)\rangle = (x+y)^2 \,\ge0,
mas isso vale zero sempre que x+y=0 mesmo com (x,y)\neq(0,0).

Passo 3

Por exemplo, para v=(1,-1) temos \langle v,v\rangle=(1-1)^2=0 embora v\neq(0,0). Logo falha a positividade definida.

Resposta

Não é produto interno em \mathbb{R}^{2}.

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