Questão 0.8. Considere o espaço vetorial R^3. O conjunto R^2 é um subespaço de R^3 ? E o conjunto (x, y, 0): x, y in R é um subespaço de R^3 ? Justifique suas respostas!

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se dois conjuntos são subespaços de R^3. Vamos usar a definição de subespaço: um subconjunto Wsubseteq V (com V espaço vetorial) é subespaço se e somente se
  1. 0in W,
  2. para todo u,vin W, u+vin W,
  3. para toda lambdainR e todo uin W, lambda uin W.

Passo 2

Analisando o conjunto R^2: seus elementos são pares (x,y), enquanto em R^3 trabalhamos com triplas (x,y,z). Logo não existe inclusão R^2subseteqR^3. Portanto, R^2 não satisfaz nem a condição de ser subconjunto, logo não é subespaço de R^3.

Passo 3

Analisando
E = (x,y,0)colon x,yinR,
vemos que EsubseteqR^3. Verificamos as condições de subespaço:
  • Zero: (0,0,0)in E ao escolher x=0, y=0.
  • Adição: dados (x1,y1,0),(x2,y2,0)in E,
(x1,y1,0)+(x2,y2,0) = (x1+x2,,y1+y2,,0)in E
  • Escalar: para lambdainR e (x,y,0)in E,
lambda,(x,y,0) = (lambda x,,lambda y,,0)in E
Assim, E contém 0 e é fechado em soma e multiplicação por escalar, logo é subespaço de R^3.

Resposta

R^2 não é subespaço de R^3.
E=(x,y,0)colon x,yinR é subespaço de R^3.

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