Questão 0.6. Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais dos espaços vetoriais dados:
V=R^3 e W=(x, y, z) in R^3: 3 x-2 z=0

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial ambient V=R^3 e o subconjunto
W = (x,y,z)inR^3:3x-2z=0
e pede para verificar se W é subespaço vetorial de V. Para isso, vamos usar o critério de subespaço:
  1. Verificar se o vetor zero está em W.
  2. Verificar se W é fechado sob adição.
  3. Verificar se W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos o vetor zero:
3cdot 0 - 2cdot 0 = 0,
logo (0,0,0)in W.

Passo 3

Sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) vetores em W. Então
3x1-2z1 = 0 e 3x2-2z2 = 0
Para a soma u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2) temos
3(x1+x2)-2(z1+z2) = (3x1-2z1)+(3x2-2z2) = 0+0 =0,
portanto u+vin W.

Passo 4

Seja alphainR e u=(x1,y1,z1)in W. Para alpha u=(alpha x1,alpha y1,alpha z1) vale
3(alpha x1)-2(alpha z1) =alpha,(3x1-2z1) =alphacdot 0 =0,
logo alpha uin W.

Passo 5

Como W contém o zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que W é subespaço vetorial de R^3.

Resposta

W é subespaço vetorial de R^3.

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