Questão 0.9. Sejam
e
dois subespaços de
. Mostre que
é um subespaço de
. Em geral
não é subespaço de
. Dê um exemplo de subespaços
e
de
onde
não é subespaço de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas coisas sobre subespaços de um espaço vetorial
: que a interseção
de dois subespaços é sempre um subespaço, e que a união
nem sempre é subespaço. Para isso vamos usar a definição de subespaço (conter o vetor zero, fechar sob soma e sob multiplicação escalar) e em seguida dar um contraexemplo em
.
Passo 2
Para provar que
é subespaço de
, usamos que cada
satisfaz:
- Como
para , temos . - Se
, então e . Como cada é fechado sob soma,
logo
.
3. Se e
é escalar, então
e
, portanto
3. Se
Assim,
satisfaz as três condições e é subespaço de
.
Passo 3
Para ver que em geral
não é subespaço, basta notar que a união pode falhar em fechar sob soma. Se escolhermos
que não esteja em
e
que não esteja em
, pode acontecer que
não pertença nem a
nem a
, logo não está em
.
Passo 4
Exemplo em
: seja
Então
e
, mas
não pertence nem a
nem a
. Logo
, mostrando que
não é subespaço de
.
Resposta
A interseção
é sempre subespaço de
, mas a união
em geral não é. Um exemplo em
são os eixos
e
, cuja união não fecha sob soma.