Questão 0.9. Sejam W1 e W2 dois subespaços de V. Mostre que W1 cap W2 é um subespaço de V. Em geral W1 cup W2 não é subespaço de V. Dê um exemplo de subespaços W1 e W2 de R^2 onde W1 cup W2 não é subespaço de R^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas coisas sobre subespaços de um espaço vetorial V: que a interseção W1cap W2 de dois subespaços é sempre um subespaço, e que a união W1cup W2 nem sempre é subespaço. Para isso vamos usar a definição de subespaço (conter o vetor zero, fechar sob soma e sob multiplicação escalar) e em seguida dar um contraexemplo em R^2.

Passo 2

Para provar que W1cap W2 é subespaço de V, usamos que cada Wi satisfaz:
  1. Como 0in Wi para i=1,2, temos 0in W1cap W2.
  2. Se u,vin W1cap W2, então u,vin W1 e u,vin W2. Como cada Wi é fechado sob soma,
u+vin W1 e u+vin W2,
logo u+vin W1cap W2.
3. Se uin W1cap W2 e alpha é escalar, então alpha uin W1 e alpha uin W2, portanto
alpha uin W1cap W2
Assim, ,W1cap W2 satisfaz as três condições e é subespaço de V.

Passo 3

Para ver que em geral W1cup W2 não é subespaço, basta notar que a união pode falhar em fechar sob soma. Se escolhermos uin W1 que não esteja em W2 e vin W2 que não esteja em W1, pode acontecer que u+v não pertença nem a W1 nem a W2, logo não está em W1cup W2.

Passo 4

Exemplo em R^2: seja
W1 = (x,0)mid xinR e W2 = (0,y)mid yinR
Então (1,0)in W1 e (0,1)in W2, mas
(1,0)+(0,1) = (1,1)
não pertence nem a W1 nem a W2. Logo (1,1)notin W1cup W2, mostrando que W1cup W2 não é subespaço de R^2.

Resposta

A interseção W1cap W2 é sempre subespaço de V, mas a união W1cup W2 em geral não é. Um exemplo em R^2 são os eixos
,W1=(x,0) e W2=(0,y), cuja união não fecha sob soma.

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