Questão 0.6. Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais dos espaços vetoriais dados:
V=M2(R) e W=(cc0 & a 0 & 0): a in R

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
V = M2(R)
é o espaço vetorial de todas as matrizes 2 times 2 reais, e
W = 0 & a [6pt]0 & 0:ainR
é um subconjunto de V. O conteúdo aqui é o teste de subespaço vetorial, que exige conferir três propriedades: presença do vetor zero, estabilidade por soma e estabilidade por multiplicação escalar.]

Passo 2

Verificamos se o vetor zero de V pertence a W. O vetor zero em M2(R) é
0V = 0 & 0 [3pt]0 & 0
Como isto corresponde à escolha a=0 em
0 & a 0 & 0, concluímos que
0Vin W ]

Passo 3

Testamos a estabilidade por soma. Tomemos
A = 0 & a 0 & 0, B = 0 & b 0 & 0
com a,binR. Então
A + B = 0 & a 0 & 0 + 0 & b 0 & 0 = 0 & a+b 0 & 0
Como a+binR, segue que A+Bin W.

Passo 4

Testamos a estabilidade por multiplicação escalar. Seja lambdainR e
A = 0 & a 0 & 0in W
Então
lambda A = lambda 0 & a 0 & 0 = 0 & lambda a 0 & 0
Como lambda ainR, temos lambda Ain W.

Resposta

W satisfaz as três propriedades (zero, soma e escalar) e, portanto, é subespaço vetorial de V.

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