Seja Dk=k I a matriz escalar correspondente ao escalar k. Mostre que
Dk Dk^prime=Dk k^prime

Passo 1

O enunciado define a família de matrizes escalares
Dk=k,I
onde I é a matriz identidade de ordem n. Queremos mostrar que, para quaisquer escalares k e k', vale
DkDk'=Dk k'
Aqui vamos usar a propriedade de que podemos fatorar escalares em produtos de matrizes e que I é a identidade para a multiplicação matricial.

Passo 2

Recordando que, para quaisquer escalares a,b e quaisquer matrizes compatíveis A,B, vale
(aA)(bB)=ab,(AB),
podemos aplicar essa regra com a=k, A=I, b=k' e B=I. Assim temos
DkDk'=(kI)(k'I)=k,k',(I,I)

Passo 3

Como I é a matriz identidade de ordem n, ela satisfaz
I,I = I
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DkDk'=k,k',I,
e pela definição de Dk k' (isto é, Dk k'=(k,k')I) concluímos
DkDk'=Dk k'

Resposta

DkDk'=Dk k'

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