Questão 2
Os tempos de vida de um certo tipo de componente eletrônico são exponencialmente distribuídos com média de \mathbf{2 0 0 0} horas. A probabilidade de que um componente dure mais de \mathbf{2 0 0 0} horas é igual a:
\bigcirc a. e^{-1}
\bigcirc b. e^{-2}
\bigcirc c. 1-e^{-3}
\bigcirc d. 1-e^{-2}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • Informação: os tempos de vida de um componente são exponencialmente distribuídos e a média é \,2000 horas.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que um componente dure mais de \,2000 horas? Ou seja, calcular P(X>2000), onde X é o tempo de vida do componente.

Passo 2

Vamos recordar a forma funcional da distribuição exponencial (fórmula importante que vou usar): a função densidade de probabilidade é
f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x}\quad\text{para }\;x\ge 0,
onde \lambda>0 é a taxa (parâmetro) da distribuição. Aqui, \lambda é o que determina quão rápido a probabilidade “decai” com o tempo.

Passo 3

A média (valor esperado) de uma variável aleatória exponencial X está relacionada com \lambda por
\mathbb{E}[X]=\frac{1}{\lambda}.
Nessa fórmula, \mathbb{E}[X] é a média (esperança) e \lambda é a mesma taxa da densidade acima.

Passo 4

Do enunciado sabemos que \mathbb{E}[X]=2000. Usando \mathbb{E}[X]=1/\lambda, resolvemos para \lambda:
\frac{1}{\lambda}=2000 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac{1}{2000}.

Passo 5

A probabilidade que queremos, P(X>2000), é a chamada função sobrevivência (complemento da função de distribuição acumulada). Para a exponencial existe uma expressão simples:
P(X>t)=e^{-\lambda t}.
Aqui t é o tempo específico (no nosso caso t=2000) e \lambda é o parâmetro obtido no passo anterior.

Passo 6

Aplicando t=2000 e \lambda=1/2000 na fórmula da sobrevivência, temos
P(X>2000)=e^{-(1/2000)\cdot 2000}=e^{-1}.

Passo 7

Interpretação rápida para ficar na cabeça: com média 2000 horas a taxa é \lambda=1/2000. A probabilidade de durar mais que a própria média é e^{-1}, que numericamente vale aproximadamente 0,368 (ou 36,8\%). Isso é uma característica da exponencial — não é surpreendente que a probabilidade de exceder a média seja cerca de 37\%.

Resposta

a. e^{-1}

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