Questão 2
Os tempos de vida de um certo tipo de componente eletrônico são exponencialmente distribuídos com média de
horas. A probabilidade de que um componente dure mais de
horas é igual a:
a.
b.
c.
d.
Os tempos de vida de um certo tipo de componente eletrônico são exponencialmente distribuídos com média de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
- Informação: os tempos de vida de um componente são exponencialmente distribuídos e a média é
horas. - Pergunta: qual é a probabilidade de que um componente dure mais de
horas? Ou seja, calcular , onde é o tempo de vida do componente.
Passo 2
Vamos recordar a forma funcional da distribuição exponencial (fórmula importante que vou usar): a função densidade de probabilidade é
onde
é a taxa (parâmetro) da distribuição. Aqui,
é o que determina quão rápido a probabilidade “decai” com o tempo.
Passo 3
A média (valor esperado) de uma variável aleatória exponencial
está relacionada com
por
Nessa fórmula,
é a média (esperança) e
é a mesma taxa da densidade acima.
Passo 4
Do enunciado sabemos que
. Usando
, resolvemos para
:
Passo 5
A probabilidade que queremos,
, é a chamada função sobrevivência (complemento da função de distribuição acumulada). Para a exponencial existe uma expressão simples:
Aqui
é o tempo específico (no nosso caso
) e
é o parâmetro obtido no passo anterior.
Passo 6
Aplicando
e
na fórmula da sobrevivência, temos
Passo 7
Interpretação rápida para ficar na cabeça: com média
horas a taxa é
. A probabilidade de durar mais que a própria média é
, que numericamente vale aproximadamente
(ou
). Isso é uma característica da exponencial — não é surpreendente que a probabilidade de exceder a média seja cerca de
.
Resposta
a.