• Questão 3. Considere F(s)=\frac{s^{2}-6 s+4}{s^{3}-3 s^{2}+2 s}.
    (A)(0.6pt) Sobre \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} é correto:
    ( ) 1+e^{t}+e^{2 t}
    ( ) 2+\operatorname{senh}(t)-\operatorname{senh}(\sqrt{2} t)
    ( ) 1+\operatorname{sen}(t)-\operatorname{sen}(\sqrt{2} t)
    ( ) 2 u(t)+e^{-t}-2 e^{-2 t}
    ( ) 2+e^{t}-2 e^{2 t}
    ( ) nenhuma das anteriores
    (B)(0.6pt) Sobre \mathcal{L}^{-1}\{F(s+3)\} é correto:
    ( ) e^{3 t}(2+\operatorname{senh}(t-3)-\operatorname{senh}(2 t-6))
    ( ) 2 e^{-3 t}+e^{-2 t}-2 e^{-t}
    ( ) 2+e^{3-t}-2 e^{6-2 t}
    ( ) 2+e^{t-3}-2 e^{2(t-3)}
    ( ) 2+e^{3-t}-2 e^{6-2 t}
    ( ) nenhum dos anteriores

Passo 1

O enunciado dá a função de variável complexa
F(s)=\frac{s^{2}-6s+4}{s^{3}-3s^{2}+2s}
e pede em (A) a transformada inversa \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} e em (B) a transformada inversa de F(s+3). O conteúdo envolve decomposição em frações parciais e o teorema de deslocamento no domínio s.

Passo 2

Fazemos a fatoração do denominador:
s^{3}-3s^{2}+2s=s\,(s-1)\,(s-2).
Assumimos a forma
\frac{s^{2}-6s+4}{s(s-1)(s-2)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s-1}+\frac{C}{s-2}.
Multiplicando ambos os lados por s(s-1)(s-2)\) e comparando coeficientes, obtemos o sistema \[\begin{cases} A+B+C=1,\\\\ -3A-2B-C=-6,\\\\ 2A=4. \end{cases}
Da terceira equação vem A=2\]. Substituindo nas duas primeiras: \[\begin{cases} 2+B+C=1\implies B+C=-1,\\\\ -6-2B-C=-6\implies2B+C=0. \end{cases}\] Resolvendo, \(B=1 e C=-2. Logo
F(s)=\frac{2}{s}+\frac{1}{s-1}-\frac{2}{s-2}.

Passo 3

Usando a tabela de transformadas inversas:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s}\Bigr\}=1,\quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s-1}\Bigr\}=e^{t},\quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s-2}\Bigr\}=e^{2t},
temos
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} =2\cdot1 +1\cdot e^{t} -2\cdot e^{2t} =2+e^{t}-2e^{2t}.

Passo 4

Para \mathcal{L}^{-1}\{F(s+3)\} usamos o teorema de deslocamento:
se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s), então \mathcal{L}\{e^{-3t}f(t)\}=F(s+3).
Como já achamos f(t)=2+e^{t}-2e^{2t}, segue
\mathcal{L}^{-1}\{F(s+3)\} =e^{-3t}\bigl(2+e^{t}-2e^{2t}\bigr) =2e^{-3t}+e^{-2t}-2e^{-t}.

Resposta

(A) 2+e^{t}-2e^{2t}
(B) 2e^{-3t}+e^{-2t}-2e^{-t}

Exercícios relacionados