• Questão 4. Considere y tal que \left\{\begin{array}{l}t y^{\prime}-\frac{5 y}{2}=10 \\\ y(1)=2\end{array}, t>1\right.
    (A)(0.6pt) sobre solução particular y_{p} para a EDO contida acima, é correto:
    ( ) y_{p}=10
    ( ) y_{p}=-4 t
    ( ) y_{p}=-5 t
    ( ) y_{p}=-4
    ( ) y_{p}=5 t^{-1}
    ( ) nenhuma das anteriores
    (B)(0.6pt) sendo U^{\prime}=\frac{d U}{d s} a derivada da transformada da respectiva solução homogênea, é correto:
    ( ) \frac{U^{\prime}}{U}=-\frac{5 / 2}{s}
    ( ) \frac{U^{\prime}}{U}=-\frac{1 / 2}{s-1}
    ( ) \frac{U^{\prime}}{U}=-\frac{3 / 2}{s}
    ( ) \frac{U^{\prime}}{U}=-\frac{1 / 2}{s+1}
    ( ) \frac{U^{\prime}}{U}=-\frac{1 / 2}{s}
    ( ) nenhuma das anteriores
    (C) (0.6pt) Obtenha a solução y(t) do PVI usando os resultados dos ítens anteriores.
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Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
t\,y'-\frac{5}{2}y=10,\quad y(1)=2,\;t>1,
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos dividir a resolução em:
  1. achar uma solução particular y_p;
  2. achar a solução geral da homogênea e, via transformada de Laplace, determinar \tfrac{U'}{U};
  3. combinar particular e homogênea e usar y(1)=2.

Passo 2

Para encontrar y_p, escrevemos a forma padrão dividindo por t:
y'-\frac{5}{2t}y=\frac{10}{t}.
Como o segundo membro é 10/t, tentamos y_p=D constante. Substituindo em \,y'-\tfrac{5}{2t}y=10/t
0-\frac{5}{2t}D=\frac{10}{t} \quad\Longrightarrow\quad -\frac{5}{2}D=10 \quad\Longrightarrow\quad D=-4.
Logo, y_p=-4.

Passo 3

A equação homogênea é
y'-\frac{5}{2t}y=0.
Integrando \frac{y'}{y}=\frac{5}{2t} resulta
\ln y=\frac{5}{2}\ln t + C \quad\Longrightarrow\quad y_h=C\,t^{5/2}.

Passo 4

Aplicando a transformada de Laplace à homogênea t\,y'-\tfrac{5}{2}y=0, usamos
\displaystyle L\{t\,y'\}=-\frac{d}{ds}[\,sU(s)-y(0)\,] e \displaystyle L\{y\}=U(s).
Tomando y(1)=2 como condição inicial y(0) na transformada deslocada, obtemos após simplificar
s\,U'(s)+\frac{7}{2}U(s)=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{U'(s)}{U(s)}=-\frac{7/2}{s}.
Nenhuma das alternativas apresentadas na parte (B) coincide com -\tfrac{7/2}{s}.

Passo 5

A solução geral do PVI é
y(t)=y_h+y_p = C\,t^{5/2}-4.
Usando y(1)=2
C\cdot 1^{5/2}-4=2 \quad\Longrightarrow\quad C=6.
Portanto
y(t)=6\,t^{5/2}-4.

Resposta

(A) y_{p}=-4
(B) nenhuma das anteriores
(C) \displaystyle y(t)=6\,t^{5/2}-4

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