• Questão 1. Considere a função f(t)\) definida abaixo \(f(t)= \begin{cases}t & , 0<t<1 \\\\ 2-t & , 1<t \leq 2 \\\\ 0 & , t>2\end{cases}
(A)(0.6pt) Sobre representação para f, é correto:
( ) f=t u(t)+(2-2 t) u(t-1)+(2-t) u(t-2)
( ) f=t u(t)+(2-t) u(t-1)
( ) f=t u(t)+2(1-t) u(t-1)+(t-2) u(t-2)
( ) f=t u(t)+(2-t) u(t-1)+u(t-2)
( ) f=t u(t)+(2-t) u(t-1)+(t-2) u(t-2)
(B)(0.6pt) Sobre \mathcal{L}\{f(t)\}, é correto:
( ) \frac{1-e^{-s}}{s^{2}}+\frac{2 e^{-s}}{s}
( ) \frac{1}{s}+\frac{2 e^{-s}}{s}+\frac{2 e^{-s}}{s^{2}}-\frac{2 e^{-2 s}}{s^{2}}
( ) \frac{1-2 e^{-s}}{s^{2}}
( ) \frac{1}{s^{2}}+\frac{2 e^{-s}}{s}-\frac{e^{-s}}{s^{2}}+\frac{e^{-2 s}}{s^{2}}
( ) \frac{1-2 e^{-s}+e^{-2 s}}{s^{2}}

Passo 1

O enunciado dá
f(t)= \begin{cases} t, &0<t<1,\\\\ 2-t, &1<t\le2,\\\\ 0, &t>2, \end{cases}
e pede (A) a representação de f(t) em termos de funções passo unitário u(t) e (B) a transformada de Laplace \mathcal{L}\{f(t)\}. Para (A) usamos o método de cortar f(t) em intervalos com diferenças de u(t-a). Para (B) podemos usar essa forma em degraus ou calcular diretamente \displaystyle\int_{0}^{1}t e^{-st}\,dt+\int_{1}^{2}(2-t)e^{-st}\,dt.

Passo 2

Escrevemos f(t) como soma de dois trechos:
f(t)=t\,[u(t)-u(t-1)]+(2-t)\,[u(t-1)-u(t-2)].
Agora expandimos:
f(t)=t\,u(t)-t\,u(t-1)+(2-t)\,u(t-1)-(2-t)\,u(t-2).
Agrupando coeficientes de cada u(\cdot):
  • Coeficiente de u(t): t.
  • Coeficiente de u(t-1): -t+(2-t)=2-2t.
  • Coeficiente de u(t-2): -(2-t)=t-2.
    Logo
f(t)=t\,u(t)+(2-2t)\,u(t-1)+(t-2)\,u(t-2).

Passo 3

Comparamos com as opções de (A):
1. t\,u(t)+(2-2t)\,u(t-1)+(2-t)\,u(t-2) (incompatível no terceiro termo),
2. t\,u(t)+(2-t)\,u(t-1) (faltam termos),
3. t\,u(t)+2(1-t)\,u(t-1)+(t-2)\,u(t-2) \bigl(2(1-t)=2-2t\bigr),
4. t\,u(t)+(2-t)\,u(t-1)+u(t-2),
5. t\,u(t)+(2-t)\,u(t-1)+(t-2)\,u(t-2).
A única que coincide é a terceira.

Passo 4

Agora calculamos
\mathcal{L}\{f(t)\} =\int_{0}^{1}t e^{-st}\,dt+\int_{1}^{2}(2-t)e^{-st}\,dt.
1. \displaystyle\int_{0}^{1}t e^{-st}\,dt=\frac{1-e^{-s}(1+s)}{s^{2}}. 2. \displaystyle\int_{1}^{2}(2-t)e^{-st}\,dt =\frac{e^{-s}}{s}-\frac{e^{-s}-e^{-2s}}{s^{2}}.
Somando e simplificando obtemos
\mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{1-(2+s)e^{-s}+e^{-2s}}{s^{2}}+\frac{e^{-s}}{s} =\frac{1-2e^{-s}+e^{-2s}}{s^{2}}.

Passo 5

Comparando com as opções de (B):
  • A quinta opção é \displaystyle\frac{1-2e^{-s}+e^{-2s}}{s^{2}}.

Resposta

(A) f(t)=t\,u(t)+2(1-t)\,u(t-1)+(t-2)\,u(t-2).
(B) \displaystyle\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{1-2e^{-s}+e^{-2s}}{s^{2}}.

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