• Questão 2. Marque a alternativa correta.
    (A)(0.6pt) Sobre \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{\pi^{2}+s^{2}}\right\}, é correto:
    ( ) \frac{\operatorname{sen}(\pi t)}{\pi}
    ( ) \operatorname{sen}(\pi t)
    ( ) \cos (\pi t)
    ( ) \frac{\cos (\pi t)}{\pi}
    ( ) \frac{e^{\pi t}-e^{-\pi t}}{2 \pi}
    (B)(0.6pt) Sobre \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{e^{-s}}{\pi^{2}+s^{2}}\right\}, é correto:
    ( ) u(t-1) \frac{e^{\pi(t-1)}-e^{-\pi(t-1)}}{2 \pi}
    ( ) u(t-1) \frac{\cos (\pi t)}{\pi}
    ( ) -u(t-1) \frac{\operatorname{sen}(\pi t)}{\pi}
    ( ) u(t-1) \operatorname{sen}(\pi(t-1))
    ( ) u(t-1) \cos (\pi(t-1))
    (C) (0.6pt) Sobre o regime de amortecimento do oscilador \left\{\begin{array}{ll}y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+3 y & =2 \\\ y(0)=0 & , y^{\prime}(0)=1\end{array}\right., é correto:
    ( ) é superamortecido
    ( ) é não-amortecido
    ( ) é subamortecido
    ( ) é assintoticamente amortecido
    ( ) é exponencialmente amortecido
    ( ) é criticamente amortecido

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
1. Calcular \mathcal{L}^{-1}\bigl\{\frac{1}{\pi^{2}+s^{2}}\bigr\}.
2. Calcular \mathcal{L}^{-1}\bigl\{\frac{e^{-s}}{\pi^{2}+s^{2}}\bigr\}.
3. Classificar o regime de amortecimento da equação
y'' + 3y' + 3y = 2,\quad y(0)=0,\;y'(0)=1.
Para isso vamos usar a transformada de seno, a propriedade de deslocamento no tempo da transformada de Laplace e o discriminante da equação característica.

Passo 2

Sabemos que
\mathcal{L}\{\sin(\pi t)\}(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(\pi t)\,dt = \frac{\pi}{s^{2}+\pi^{2}}.
Logo,
\frac{1}{s^{2}+\pi^{2}} = \frac{1}{\pi}\,\frac{\pi}{s^{2}+\pi^{2}} \longrightarrow \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^{2}+\pi^{2}}\Bigr\} = \frac{1}{\pi}\sin(\pi t).

Passo 3

Pela propriedade de deslocamento no tempo,
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-s}F(s)\}(t) = u(t-1)\,f(t-1),
onde f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}(t). Aqui F(s)=1/(\pi^{2}+s^{2}) e f(t)=\frac{1}{\pi}\sin(\pi t). Portanto
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{e^{-s}}{\pi^{2}+s^{2}}\Bigr\} = u(t-1)\,\frac{1}{\pi}\sin\bigl(\pi\,(t-1)\bigr).

Passo 4

A equação característica de
y''+3y'+3y=0
é
r^{2}+3r+3=0,
cujo discriminante é
\Delta = 3^{2}-4\cdot1\cdot3 = 9-12 = -3 < 0.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas e o sistema é subamortecido.

Resposta

(A) \displaystyle \frac{\sin(\pi t)}{\pi}
(B) \displaystyle u(t-1)\,\sin\bigl(\pi(t-1)\bigr)
(C) é subamortecido.

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