Resolva os seguintes problemas, aplicando o Teste da Série Alternada ou o Teste da Divergência quando apropriado. Mostre todos os cálculos intermediários e justifique suas respostas.
Determine se a série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{e^{n}} converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\,\frac{n}{e^{n}}
converge ou diverge, usando o Teste da Série Alternada (Teste de Leibniz) ou, se for o caso, o Teste da Divergência. Aqui o termo geral é
a_n = (-1)^{n-1}\,\frac{n}{e^n}
e vamos verificar as condições do Teste de Leibniz, isto é: 1. \lim_{n\to\infty}\bigl|\tfrac{n}{e^n}\bigr|=0. 2. a sequência b_n=\tfrac{n}{e^n} é monótona decrescente a partir de algum n.
Passo 2
Verificamos o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{e^n}.
Como a função exponencial cresce muito mais rápido que o polinômio, esse quociente tende a zero. Formalmente pode-se usar o Teste da Razão para b_n:
Mostramos que b_n=\frac{n}{e^n} é decrescente para todo n\ge1. Já calculamos
\frac{b_{n+1}}{b_n} =\frac{n+1}{n}\,\frac1e.
Como \frac{n+1}{n}<e para todo n\ge1 (pois e\approx2{,}718 e \tfrac{n+1}{n}\le2), segue \frac{b_{n+1}}{b_n}<1, isto é, b_{n+1}<b_n. Portanto (b_n) é monótona decrescente.
Passo 4
Pela condição de Leibniz, como b_n\ge0, b_n decresce e \lim b_n=0, a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_n
converge.
Passo 5
Opcionalmente, podemos notar que a série converge absolutamente, pois