Questão 6 Considere a função f dada por
f(x)=\frac{(x-3)^{2024}(5-x)^{2026}}{x^{2028}(x+2)^{2025}} .
Determine os valores de x tais que f(x) \leq 0.
Resposta: S=\{x \in \mathbb{R} ; x \leq 2 ou x=3 ou x \geq 5\}.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\frac{(x-3)^{2024}(5-x)^{2026}}{x^{2028}(x+2)^{2025}}
e pede os x tais que f(x)\le0. O conteúdo é análise de sinal de função racional com fatores elevados a expoentes pares e ímpares. Vamos (1) identificar domínio e zeros, (2) determinar o sinal de numerador e denominador, (3) montar o quadro de sinais e concluir a solução da inequação.

Passo 2

Determinar domínio e pontos que anulam numerador ou fazem denominador zero:
  1. Denominador x^{2028}(x+2)^{2025}=0 se e somente se x=0 ou x=-2. Esses valores ficam fora do domínio.
  2. Numerador (x-3)^{2024}(5-x)^{2026}=0 se e somente se x=3 ou x=5. Nesses pontos f(x)=0.

Passo 3

Analisar o sinal de cada fator (fora dos pontos onde algum fator é zero ou indefinido):
  • (x-3)^{2024} é sempre \ge0 (expoente par) e só zera em x=3.
  • (5-x)^{2026} é sempre \ge0 (expoente par) e só zera em x=5.
  • x^{2028} é sempre >0 para x\neq0 (expoente par).
  • (x+2)^{2025} tem expoente ímpar, então \sign((x+2)^{2025})=\sign(x+2).
Logo, para x\neq -2,0,3,5,
\sign(f(x)) =\frac{\sign((x-3)^{2024})\;\sign((5-x)^{2026})}{\sign(x^{2028})\;\sign((x+2)^{2025})} =\frac{(+)\,(+)}{(+)\,\sign(x+2)} =\frac{+}{\sign(x+2)} =\begin{cases} +,&x+2>0,\\\\ -,&x+2<0. \end{cases}

Passo 4

Montar o quadro de sinais segundo os pontos críticos -2<0<3<5:
  • Para x<-2: x+2<0 implica \sign(f(x))=-.
  • Em x=-2 e x=0: f indefinida.
  • Para -2<x<3 (excluindo 0): x+2>0 implica \sign(f(x))=+.
  • Em x=3: numerador zera e denominador \neq0 \implies f(3)=0.
  • Para 3<x<5: ainda x+2>0 e numerador >0 \implies f(x)>0.
  • Em x=5: numerador zera e denominador \neq0 \implies f(5)=0.
  • Para x>5: x+2>0 e numerador >0 \implies f(x)>0.
Queremos f(x)\le0, portanto incluem-se:
  • todas as x com x<-2 (onde f(x)<0),
  • e os zeros x=3 e x=5 (onde f(x)=0).
    Pontos onde f é indefinida ( x=-2,0) não entram.

Resposta

\{\,x\in\mathbb{R}:f(x)\le0\} =(-\infty,-2)\,\cup\{3,5\}.

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