Questão 4 Determine o domínio da função f dada por
f(x)=\sqrt{\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}} .
Resposta: D=\{x \in \mathbb{R} ;-1<x<0\}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\sqrt{\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}}
e pede o domínio. Esse problema envolve duas restrições: (i) os denominadores não podem ser zero, e (ii) o radicando deve ser não-negativo.

Passo 2

Para evitar divisão por zero, temos que
x+1\neq0 \quad\text{e}\quad x\neq0,
ou seja,
x\neq -1 \quad\text{e}\quad x\neq0.

Passo 3

Vamos simplificar o radicando:
\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x} =\frac{x-(x+1)}{x(x+1)} =-\frac{1}{x(x+1)}.
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f(x)=\sqrt{-\frac{1}{x(x+1)}}.

Passo 4

A condição de existência da raiz é
-\frac{1}{x(x+1)}\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{1}{x(x+1)}\le0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(x+1)<0.
Esse produto é negativo exatamente quando x está entre as raízes -1 e 0, ou seja,
-1<x<0.

Passo 5

Unindo as duas condições — x\neq-1, x\neq0 e -1<x<0 — obtemos
-1<x<0.

Resposta

O domínio é
D=\{x\in\mathbb{R}\mid -1<x<0\}.

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