Questão 4. Considere a função f: R R definida por f(x)=4 xx^2+1.
a) Determine o domínio da função e suas interseções com os eixos x e y.
b) Utilizando o teste da primeira derivada, informe os pontos críticos assim como os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
c) A partir do teste da segunda derivada verifique se os pontos críticos da função são de máximo ou de mínimo. Verifique também os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.
d) Encontre suas assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
e) Calcule a imagem dos pontos destacados nos itens anteriores e esboce o gráfico da função.

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo da função
f(x)=4xx^2+1
em termos de domínio, interseções com os eixos, crescimento e decrescimento (teste da primeira derivada), máximos e mínimos e pontos de inflexão (teste da segunda derivada), assíntotas e, por fim, valores nos pontos relevantes e esboço do gráfico. Iremos usar cálculo de derivadas e limites.

Passo 2

Domínio e interseções com os eixos
  1. O denominador x^2+1 nunca zera em R, logo
Dom(f)= R
  1. Interseção com o eixo x: resolver f(x)=0 4x=0implies x=0, ponto (0,0).
  2. Interseção com o eixo y: em x=0 tem f(0)=0, também (0,0).

Passo 3

Crescimento e decrescimento (primeira derivada)
  1. Calculamos
f'(x) =4(x^2+1)-4xcdot2x(x^2+1)^2 =4-4x^2(x^2+1)^2 =4,1-x^2(x^2+1)^2
  1. Zeros de f': 1-x^2=0implies x=pm1. Não há pontos onde f' não exista.
  2. Sinal de f':
  • Se |x|<1, 1-x^2>0implies f'>0 (cresce em (-1,1)).
  • Se |x|>1, 1-x^2<0implies f'<0 (decresce em (-infty,-1)cup(1,infty)).

Passo 4

Classificação de extremos e concavidade (segunda derivada)
  1. Derivando de novo, obtém-se
f''(x) =-8x,(3-x^2)(x^2+1)^3 =;8,x(x^2-3)(x^2+1)^3
  1. Zeros de f'': x=0 e x^2-3=0implies x=pmraiz3.
  2. Classificação dos extremos em x=pm1:
  • Em x=-1, f''(-1)>0implies mínimo local.
  • Em x=1, f''(1)<0implies máximo local.
  1. Pontos de inflexão: onde f'' muda de sinal, isto é x=-raiz3,,0,,raiz3.
  2. Concavidade:
  • Côncavo para baixo em (-infty,-raiz3) e (0,raiz3).
  • Côncavo para cima em (-raiz3,0) e (raiz3,infty).

Passo 5

Assíntotas
  1. Verticais: não há, pois o denominador nunca zera.
  2. Horizontais:
limxtopminfty4xx^2+1 =limxtopminfty4x=0,
logo assíntote horizontal y=0.

Passo 6

Valores nos pontos relevantes e esboço
  1. Valores:
f(-1)=-2, f(1)=2, f(0)=0, f(pmraiz3)=pmraiz3
  1. Esboço do gráfico: função ímpar, cresce de -1 a 1 com mínimo em (-1,-2) e máximo em (1,2), assíntote y=0 para |x|toinfty, inflexões em l(-raiz3,-raiz3r), (0,0), l(raiz3,raiz3r), concavidades conforme acima.

Resposta

a) Dom(f)= R. Interseções: eixo x e y em (0,0).
b) f'(x)=41-x^2(x^2+1)^2. Pontos críticos x=pm1. Cresce em (-1,1), decresce em (-infty,-1)cup(1,infty).
c) f''(x)=8x(x^2-3)(x^2+1)^3. Em x=-1 mínimo local, em x=1 máximo local. Pontos de inflexão em x=-raiz3,0,raiz3. Concavidade para baixo em (-infty,-raiz3)cup(0,raiz3) e para cima em (-raiz3,0)cup(raiz3,infty).
d) Sem assíntotas verticais. Assíntote horizontal y=0.
e) f(-1)=-2, f(1)=2, f(0)=0, f(pmraiz3)=pmraiz3. O gráfico é ímpar, cruza a origem, tem mínimo em (-1,-2), máximo em (1,2), inflexões em l(-raiz3,-raiz3r), (0,0), l(raiz3,raiz3r), e tende a y=0 para |x|toinfty.

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