Questão 4. Considere a função
definida
.
a) Determine o domínio da função e suas interseções com os eixos
e
.
b) Utilizando o teste da primeira derivada, informe os pontos críticos assim como os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
c) A partir do teste da segunda derivada verifique se os pontos críticos da função são de máximo ou de mínimo. Verifique também os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.
d) Encontre suas assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
e) Calcule a imagem dos pontos destacados nos itens anteriores e esboce o gráfico da função.
a) Determine o domínio da função e suas interseções com os eixos
b) Utilizando o teste da primeira derivada, informe os pontos críticos assim como os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
c) A partir do teste da segunda derivada verifique se os pontos críticos da função são de máximo ou de mínimo. Verifique também os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.
d) Encontre suas assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
e) Calcule a imagem dos pontos destacados nos itens anteriores e esboce o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado pede o estudo completo da função
em termos de domínio, interseções com os eixos, crescimento e decrescimento (teste da primeira derivada), máximos e mínimos e pontos de inflexão (teste da segunda derivada), assíntotas e, por fim, valores nos pontos relevantes e esboço do gráfico. Iremos usar cálculo de derivadas e limites.
Passo 2
Domínio e interseções com os eixos
- O denominador
nunca zera em , logo
- Interseção com o eixo
: resolver dá , ponto . - Interseção com o eixo
: em tem , também .
Passo 3
Crescimento e decrescimento (primeira derivada)
- Calculamos
- Zeros de
: . Não há pontos onde não exista. - Sinal de
:
- Se
, (cresce em ). - Se
, (decresce em ).
Passo 4
Classificação de extremos e concavidade (segunda derivada)
- Derivando de novo, obtém-se
- Zeros de
: e . - Classificação dos extremos em
:
- Em
, mínimo local. - Em
, máximo local.
- Pontos de inflexão: onde
muda de sinal, isto é . - Concavidade:
- Côncavo para baixo em
e . - Côncavo para cima em
e .
Passo 5
Assíntotas
- Verticais: não há, pois o denominador nunca zera.
- Horizontais:
logo assíntote horizontal
.
Passo 6
Valores nos pontos relevantes e esboço
- Valores:
- Esboço do gráfico: função ímpar, cresce de
a com mínimo em e máximo em , assíntote para , inflexões em , , , concavidades conforme acima.
Resposta
a)
. Interseções: eixo
e
em
.
b) . Pontos críticos
. Cresce em
, decresce em
.
c) . Em
mínimo local, em
máximo local. Pontos de inflexão em
. Concavidade para baixo em
e para cima em
.
d) Sem assíntotas verticais. Assíntote horizontal .
e) ,
,
,
. O gráfico é ímpar, cruza a origem, tem mínimo em
, máximo em
, inflexões em
,
,
, e tende a
para
.
b)
c)
d) Sem assíntotas verticais. Assíntote horizontal
e)