Verifique se as equações diferenciais de primeira ordem abaixo são lineares ou não, para as que forem lineares resolva o problema de valor inicial dado.
ly^prime=(y+e^-x) tan x y(pi)=1.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem com condição inicial
y' = (y + e^-x),tan x, y(pi)=1
Este é um problema de valor inicial para uma equação diferencial linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante para resolvê-lo.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
y' + p(x),y = q(x)
Começamos expandindo:
y' = ytan x + e^-xtan x ;;Longrightarrow;; y' - (tan x),y = e^-xtan x
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p(x) = -tan x, q(x) = e^-xtan x

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = expl(integral p(x),dxr) = expl(-integral tan x,dxr) = expl(ln|cos x|r) = cos x

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=cos x, obtendo
cos x,y' - cos x,tan x,y = e^-xtan x,cos x ;Longrightarrow; cos x,y' - sin x,y = e^-xsin x
O lado esquerdo é a derivada do produto:
ddxl(cos x,yr) = e^-xsin x

Passo 5

Integramos ambos os lados:
cos x,y = integral e^-xsin x,dx + C
Usando integração por partes duas vezes, encontra-se
integral e^-xsin x,dx = -e^-x2,l(sin x + cos xr)
Portanto
cos x,y = -e^-x2,l(sin x + cos xr) + C

Passo 6

Usamos a condição y(pi)=1. Como sinpi=0 e cospi=-1, temos
cos(pi),y(pi) = -1 ;Longrightarrow; -1 = -e^-pi2,(-1) + C ;Longrightarrow; C = -1 - e^-pi2

Passo 7

Isolando y,
y(x) = 1cos xgl[-e^-x2,(sin x+cos x) + Cgr] = -e^-x2(tan x + 1) + C,sec x,
com C = -1 - tfrace^-pi2.

Resposta

A equação é linear e a solução do problema de valor inicial é
y(x) = -e^-x2,(tan x + 1) -l(1 + tfrace^-pi2r)sec x

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