Verifique se as equações diferenciais de primeira ordem abaixo são lineares ou não, para as que forem lineares resolva o problema de valor inicial dado.
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Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem com condição inicial
Este é um problema de valor inicial para uma equação diferencial linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante para resolvê-lo.
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão
Começamos expandindo:
Logo
Passo 3
O fator integrante é
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
, obtendo
O lado esquerdo é a derivada do produto:
Passo 5
Integramos ambos os lados:
Usando integração por partes duas vezes, encontra-se
Portanto
Passo 6
Usamos a condição
. Como
e
, temos
Passo 7
Isolando
,
com
.
Resposta
A equação é linear e a solução do problema de valor inicial é