Questão 5 (1,5 pts) - Uma lâmina plana ocupa a região delimitada por: \mathrm{y}=\sqrt{x}, \mathrm{x}=8, \mathrm{y}=0 . \mathrm{A} densidade superficial da lâmina é dada por: \delta(x, y)=y^{2}. Calcule a massa da lâmina.

Passo 1

O enunciado pede a massa de uma lâmina cuja densidade superficial é \delta(x,y)=y^2 e que ocupa a região D limitada por
y=\sqrt{x},\quad x=8,\quad y=0.
Para calcular a massa, usamos o integral de superfície
m=\iint_{D}\delta(x,y)\,dA.

Passo 2

Precisamos descrever D em coordenadas cartesianas. A curva y=\sqrt{x} equivale a x=y^2. Vendo x variando de 0 a 8, para cada x temos y de 0 até \sqrt{x}. Logo
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le8,\;0\le y\le\sqrt{x}\}.

Passo 3

Montamos o integral iterado em x e y:
m=\int_{x=0}^{8}\!\int_{y=0}^{\sqrt{x}}y^2\,dy\,dx.

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em y:
\int_{0}^{\sqrt{x}}y^2\,dy =\left[\frac{y^3}{3}\right]_{0}^{\sqrt{x}} =\frac{\bigl(\sqrt{x}\bigr)^3}{3} =\frac{x^{3/2}}{3}.

Passo 5

Agora a integral externa em x:
m =\int_{0}^{8}\frac{x^{3/2}}{3}\,dx =\frac{1}{3}\int_{0}^{8}x^{3/2}\,dx =\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{5}\,x^{5/2}\Big|_{0}^{8} =\frac{2}{15}\,8^{5/2}.

Passo 6

Simplificando 8^{5/2}:
8^{5/2}=(2^3)^{5/2}=2^{15/2}=2^7\sqrt{2}=128\sqrt{2},
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m=\frac{2}{15}\times128\sqrt{2}=\frac{256\sqrt{2}}{15}.

Resposta

m=\frac{256\sqrt{2}}{15}.

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