- Questão 6. Considere o seguinte problema de valor inicial (aqui
é Delta de Dirac):
com
e
. Aqui
.
(A)(1.4pt) Aplicando a Transformada de Laplace, obtenha um sistema de equações entre as quantidades
e
. Obtenha a solução desse sistema de equações.
(B)(0.6pt) Obtenha
e
via transformada inversa.
(A)(1.4pt) Aplicando a Transformada de Laplace, obtenha um sistema de equações entre as quantidades
(B)(0.6pt) Obtenha
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema com forçamento pela Delta de Dirac e condições iniciais nulas. O conteúdo é Transformada de Laplace em sistemas de EDO. Vamos aplicar
em cada equação, obter um sistema algébrico em
e
, resolver para
e
, e depois usar a transformada inversa para achar
e
.
Passo 2
Tomando Laplace em
com
e em
com
, usamos
Logo obtemos o sistema
Passo 3
Reescrevendo,
O determinante comum é
Pelo método de Cramer,
Passo 4
Note que
Escrevemos
Passo 5
Usamos as transformadas inversas conhecidas:
Logo
Resposta
A)
B)