• Questão 6. Considere o seguinte problema de valor inicial (aqui \delta(t) é Delta de Dirac):
    \left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=-x+y+\delta(t) \\\ y^{\prime}=-2 x-y+\delta(t)\end{array} \quad\right. com x(0)=0 e y(0)=0. Aqui x^{\prime}=\frac{d x}{d t}, y^{\prime}=\frac{d y}{d t}.
    (A)(1.4pt) Aplicando a Transformada de Laplace, obtenha um sistema de equações entre as quantidades s, X=\mathcal{L}\{x\} e Y=\mathcal{L}\{y\}. Obtenha a solução desse sistema de equações.
    (B)(0.6pt) Obtenha x(t) e y(t) via transformada inversa.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema com forçamento pela Delta de Dirac e condições iniciais nulas. O conteúdo é Transformada de Laplace em sistemas de EDO. Vamos aplicar \mathcal{L} em cada equação, obter um sistema algébrico em X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\} e Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, resolver para X e Y, e depois usar a transformada inversa para achar x(t) e y(t).

Passo 2

Tomando Laplace em \displaystyle x'=-x+y+\delta(t) com x(0)=0 e em \displaystyle y'=-2x-y+\delta(t) com y(0)=0, usamos
\mathcal{L}\{x'\}=sX-x(0)=sX, \quad \mathcal{L}\{y'\}=sY-y(0)=sY, \quad \mathcal{L}\{\delta(t)\}=1.
Logo obtemos o sistema
sX = -X + Y + 1, \quad sY = -2X - Y + 1.

Passo 3

Reescrevendo,
(s+1)X - Y = 1, \quad 2X + (s+1)Y = 1.
O determinante comum é
D = (s+1)^2 + 2 = s^2 + 2s + 3.
Pelo método de Cramer,
X(s) = \frac{(s+1)\cdot1 - (-1)\cdot1}{D} = \frac{s+1+1}{s^2+2s+3} = \frac{s+2}{s^2+2s+3},
Y(s) = \frac{(s+1)\cdot1 - 2\cdot1}{D} = \frac{s+1-2}{s^2+2s+3} = \frac{s-1}{s^2+2s+3}.

Passo 4

Note que
s^2+2s+3 = (s+1)^2 + 2.
Escrevemos
X(s) = \frac{s+2}{(s+1)^2+2} = \frac{s+1}{(s+1)^2+2} + \frac{1}{(s+1)^2+2},
Y(s) = \frac{s-1}{(s+1)^2+2} = \frac{s+1}{(s+1)^2+2} - \frac{2}{(s+1)^2+2}.

Passo 5

Usamos as transformadas inversas conhecidas:
\mathcal{L}^{-1}\!\Big\{\frac{s+1}{(s+1)^2+2}\Big\} = e^{-t}\cos(\sqrt{2}\,t), \quad \mathcal{L}^{-1}\!\Big\{\frac{1}{(s+1)^2+2}\Big\} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,e^{-t}\sin(\sqrt{2}\,t).
Logo
x(t) = e^{-t}\cos(\sqrt{2}\,t) + \frac{1}{\sqrt{2}}\,e^{-t}\sin(\sqrt{2}\,t),
y(t) = e^{-t}\cos(\sqrt{2}\,t) - \frac{2}{\sqrt{2}}\,e^{-t}\sin(\sqrt{2}\,t) = e^{-t}\cos(\sqrt{2}\,t) - \sqrt{2}\,e^{-t}\sin(\sqrt{2}\,t).

Resposta

A)
X(s)=\frac{s+2}{s^2+2s+3}, \quad Y(s)=\frac{s-1}{s^2+2s+3}.
B)
x(t)=e^{-t}\cos(\sqrt{2}\,t)+\frac{1}{\sqrt{2}}\,e^{-t}\sin(\sqrt{2}\,t),
y(t)=e^{-t}\cos(\sqrt{2}\,t)-\sqrt{2}\,e^{-t}\sin(\sqrt{2}\,t).

Exercícios relacionados