Questão 5 (2,5): Considere a função escalar f(x, y, z)=x y+x z+y z.
Calcule integralC f d s, onde C é o arco da circunferência (cos (2 t), sen(2 t), 2), 0 <= t <= pi4.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral de linha de uma função escalar f(x,y,z)=xy+xz+yz sobre a curva C dada por
r(t) = l(cos(2t),,sin(2t),,2r), 0<= t<= tfracpi4
O conteúdo envolve parametrização de curva, avaliação de f ao longo de C, cálculo de ds via lvert r'(t)rvert e integração.

Passo 2

Parametrizamos C por r(t). Então
fl(r(t)r) =l(cos(2t)r)l(sin(2t)r) +l(cos(2t)r),(2) +l(sin(2t)r),(2)
Simplificando,
fl(r(t)r) =tfrac12sin(4t)+2cos(2t)+2sin(2t)

Passo 3

Derivando r(t) e computando o comprimento de arco elementar:
r'(t)=l(-2sin(2t),,2cos(2t),,0r), lvert r'(t)rvert =2raizsin^2(2t)+cos^2(2t)=2
Logo ds=2,dt.

Passo 4

O integral de linha é
integralC f,ds =integral0^pi/4 fl(r(t)r),lvert r'(t)rvert,dt =2integral0^pi/4l(tfrac12sin(4t)+2cos(2t)+2sin(2t)r),dt
Distributindo o 2:
integralC f,ds =integral0^pi/4sin(4t),dt +4integral0^pi/4cos(2t),dt +4integral0^pi/4sin(2t),dt

Passo 5

Calculamos cada primitiva:
integralsin(4t),dt=-tfrac14cos(4t), integralcos(2t),dt=tfrac12sin(2t), integralsin(2t),dt=-tfrac12cos(2t)
Portanto,
integralC f,ds =l[-tfrac14cos(4t)+2sin(2t)-2cos(2t)r]0^pi/4
Em t=pi/4: cos(pi)=-1, sin(pi/2)=1, cos(pi/2)=0 1/4+2=9/4.
Em t=0: cos(0)=1, sin(0)=0 -1/4-2=-9/4.
Subtraindo,
integralC f,ds =tfrac94-l(-tfrac94r) =tfrac92

Resposta

92

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