Questão 5 (2,5): Considere a função escalar f(x, y, z)=x y+x z+y z.
Determine o trabalho realizado pelo campo gradiente de f para deslocar uma partícula ao longo da poligonal que une os pontos A1=(0,0,0), A2=(1,1,0), A3=(1,1,1), no sentido de A1 para A3.

Passo 1

O enunciado dá a função escalar
f(x,y,z)=xy+xz+yz
e pede o trabalho realizado pelo campo vetorial F=nabla f ao longo da poligonal de A1=(0,0,0) até A3=(1,1,1).
O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha em campos conservativos: se F=nabla f, então
integralCFcdot dr=fl(r(b)r)-fl(r(a)r),
independente do caminho.

Passo 2

Vamos verificar a forma de F e confirmar que é conservativo:
nabla f(x,y,z) =l(partial fpartial x,;partial fpartial y,;partial fpartial zr) =(y+z,;x+z,;x+y)
Como F=nabla f, o campo é conservativo e o trabalho depende só de f nos extremos.

Passo 3

Aplicando o teorema fundamental de integrais de linha, o trabalho é
W=f(A3)-f(A1)
Calculando:
f(1,1,1)=1cdot1+1cdot1+1cdot1=3, f(0,0,0)=0
Logo,
W=3-0=3

Resposta

O trabalho realizado vale 3.

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