Questão
: Considere a parábola retorcida representada por
.
(a) Calcule o comprimento desta curva do ponto
ao ponto
.
(b) Encontre a equação do plano normal a esta curva no ponto
.
(c) Em qual ponto o plano normal é ortogonal ao plano
?
(a) Calcule o comprimento desta curva do ponto
(b) Encontre a equação do plano normal a esta curva no ponto
(c) Em qual ponto o plano normal é ortogonal ao plano
Passo 1
Beleza, vamos começar com a parte (a). A gente tem uma parábola no espaço tridimensional dada por
. A questão pede para calcular o comprimento dessa curva do ponto
até o ponto
. Para fazer isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os valores de
que correspondem aos pontos inicial e final. Vamos igualar as componentes de
a
e
.
Para
:
Então,
é o ponto inicial.
Para
:
Portanto,
é o ponto final.
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do comprimento da curva:
Onde
é a derivada de
.
Passo 4
Vamos calcular
:
A norma de
é:
Passo 5
Assim, o comprimento da curva é:
Vamos integrar:
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar a equação do plano normal à curva no ponto
. O plano normal é aquele que é perpendicular ao vetor tangente da curva naquele ponto.
Passo 7
Primeiro, encontramos o valor de
que corresponde ao ponto
. Igualando as componentes:
Então,
.
Passo 8
Calculamos o vetor tangente
em
:
Esse vetor será o vetor normal ao plano.
Passo 9
A equação do plano pode ser escrita como:
Onde
são as componentes do vetor normal e
é o ponto dado.
Substituindo:
Simplificando:
Multiplicando tudo por 3 para eliminar a fração:
Passo 10
Agora, na parte (c), queremos saber em qual ponto o plano normal é ortogonal ao plano
. Dois planos são ortogonais se os vetores normais deles forem perpendiculares.
Passo 11
O plano
tem como vetor normal
. O vetor normal do plano normal à curva é
.
Para que os planos sejam ortogonais, o produto escalar dos vetores normais deve ser zero:
Isso significa que, para encontrar o ponto onde o plano normal seja ortogonal, precisamos que o vetor tangente da curva seja paralelo ao vetor normal do plano
, ou seja,
.
Passo 12
Isso acontece quando o vetor tangente
é paralelo a
. Então:
E também:
Mas
não pode ser dois valores diferentes ao mesmo tempo, o que indica que não há ponto na curva onde o plano normal seja ortogonal ao plano
.
Resposta
(a) O comprimento da curva de
a
é 15 unidades.
(b) A equação do plano normal à curva no ponto
é
.
(c) Não existe ponto na curva onde o plano normal seja ortogonal ao plano
.