Questão 4(2,5) : Considere a parábola retorcida representada por r(t)=(t^33, 2 t, t^2).
(a) Calcule o comprimento desta curva do ponto (0,0,0) ao ponto (9,6,9).
(b) Encontre a equação do plano normal a esta curva no ponto (13, 2,1).
(c) Em qual ponto o plano normal é ortogonal ao plano z-3=0 ?

Passo 1

Beleza, vamos começar com a parte (a). A gente tem uma parábola no espaço tridimensional dada por r(t)=(t^33, 2 t, t^2). A questão pede para calcular o comprimento dessa curva do ponto (0,0,0) até o ponto (9,6,9). Para fazer isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os valores de t que correspondem aos pontos inicial e final. Vamos igualar as componentes de r(t) a (0,0,0) e (9,6,9).
Para (0,0,0):
t^33 = 0 Rightarrow t = 0
2t = 0 Rightarrow t = 0
t^2 = 0 Rightarrow t = 0
Então, t = 0 é o ponto inicial.
Para (9,6,9):
t^33 = 9 Rightarrow t^3 = 27 Rightarrow t = 3
2t = 6 Rightarrow t = 3
t^2 = 9 Rightarrow t = 3
Portanto, t = 3 é o ponto final.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do comprimento da curva:
L = integrala^b |r,'(t)| , dt
Onde r,'(t) é a derivada de r(t).

Passo 4

Vamos calcular r,'(t):
r,'(t) = (ddt(t^33), ddt(2t), ddt(t^2)) = (t^2, 2, 2t)
A norma de r,'(t) é:
|r,'(t)| = raizt^4 + 4 + 4t^2 = raizt^4 + 4t^2 + 4 = raiz(t^2 + 2)^2 = t^2 + 2

Passo 5

Assim, o comprimento da curva é:
L = integral0^3 (t^2 + 2) , dt
Vamos integrar:
L = [t^33 + 2t ]0^3 = (273 + 6) - (0 + 0) = 9 + 6 = 15

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar a equação do plano normal à curva no ponto (13, 2,1). O plano normal é aquele que é perpendicular ao vetor tangente da curva naquele ponto.

Passo 7

Primeiro, encontramos o valor de t que corresponde ao ponto (13, 2,1). Igualando as componentes:
t^33 = 13 Rightarrow t^3 = 1 Rightarrow t = 1
2t = 2 Rightarrow t = 1
t^2 = 1 Rightarrow t = 1
Então, t = 1.

Passo 8

Calculamos o vetor tangente r,'(t) em t = 1:
r,'(1) = (1^2, 2, 2 cdot 1) = (1, 2, 2)
Esse vetor será o vetor normal ao plano.

Passo 9

A equação do plano pode ser escrita como:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) é o ponto dado.
Substituindo:
1(x - 13) + 2(y - 2) + 2(z - 1) = 0
Simplificando:
x - 13 + 2y - 4 + 2z - 2 = 0
x + 2y + 2z - 13 - 4 - 2 = 0
x + 2y + 2z - 253 = 0
Multiplicando tudo por 3 para eliminar a fração:
3x + 6y + 6z - 25 = 0

Passo 10

Agora, na parte (c), queremos saber em qual ponto o plano normal é ortogonal ao plano z - 3 = 0. Dois planos são ortogonais se os vetores normais deles forem perpendiculares.

Passo 11

O plano z - 3 = 0 tem como vetor normal (0, 0, 1). O vetor normal do plano normal à curva é (1, 2, 2).
Para que os planos sejam ortogonais, o produto escalar dos vetores normais deve ser zero:
(1, 2, 2) cdot (0, 0, 1) = 1 cdot 0 + 2 cdot 0 + 2 cdot 1 = 2 neq 0
Isso significa que, para encontrar o ponto onde o plano normal seja ortogonal, precisamos que o vetor tangente da curva seja paralelo ao vetor normal do plano z - 3 = 0, ou seja, (0,0,1).

Passo 12

Isso acontece quando o vetor tangente r,'(t) = (t^2, 2, 2t) é paralelo a (0,0,1). Então:
t^2 = 0 Rightarrow t = 0
E também:
2t = 1 Rightarrow t = 12
Mas t não pode ser dois valores diferentes ao mesmo tempo, o que indica que não há ponto na curva onde o plano normal seja ortogonal ao plano z - 3 = 0.

Resposta

(a) O comprimento da curva de (0,0,0) a (9,6,9) é 15 unidades.
(b) A equação do plano normal à curva no ponto (13, 2,1) é 3x + 6y + 6z - 25 = 0.
(c) Não existe ponto na curva onde o plano normal seja ortogonal ao plano z - 3 = 0.

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