Questão 5: Considere a função
. Exisie algum
tal que
? Justifique a sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pergunta explicitamente: existe algum
tal que
?
Informações úteis fornecidas pelo enunciado:
Informações úteis fornecidas pelo enunciado:
- A função
é um polinômio (definida para todo ). - O intervalo de interesse é
. - O valor alvo é
, isto é, queremos saber se a equação tem solução em .
Passo 2
Primeiro objetivo: traduzir a pergunta para uma forma conveniente. Defino a função auxiliar
A pergunta “existe
tal que
?” é equivalente à pergunta “existe
tal que
?” — ou seja, procurar raízes de
no intervalo
.
Explicando devagar: é também um polinômio (subtrair
apenas muda o termo constante), logo
é contínua e derivável em todo
. Essas propriedades permitem estudar máximos e mínimos de
no intervalo fechado
e analisar sinais.
Explicando devagar:
Passo 3
Calculo valores de
nos extremos inteiros do intervalo para ter uma ideia:
Portanto
Ambos
e
são negativos. Só isso não prova que não há raiz em
, pois
poderia ser negativo nas extremidades e subir acima de zero no meio. Para ter certeza, é preciso analisar o comportamento de
dentro do intervalo.]
Passo 4
Como
é derivável, seus extremos internos (se existirem) ocorrem em pontos críticos onde
. Como
, tem-se
. Calculo a derivada:
Os pontos críticos resolvem
Essa é uma equação quadrática; suas raízes são
Chamemos essas duas raízes de
e
. Numericamente,
portanto ambas estão dentro do intervalo
. Assim os candidatos a extremos de
(e de
) em
são os pontos
,
,
e
.
Passo 5
Agora é preciso comparar os valores de
(ou de
) nesses pontos para saber o máximo no intervalo. Em vez de calcular numericamente valores aproximados com muitas operações, faço uma manipulação algébrica elegante que dá
nos pontos críticos em forma simples.
Se
é uma raiz de
, então
Quero expressar
. Começo com
e uso a relação acima:
Agora
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
Substituo novamente
:
Multiplicando por
outra vez:
Logo obtenho a fórmula simples e exata para
em qualquer ponto crítico
:
Passo 6
Usando a fórmula anterior para os dois pontos críticos
e
, vejo que ambos dão valores negativos (porque
para
). Em particular, como
, temos
, então
Portanto
. Já calculamos
e
. Comparando:
O máximo de
em
é o maior entre esses valores; é
, mas mesmo ele é negativo e, em particular, estritamente menor que
.
Passo 7
Conclusão lógica: como
é contínua em
(polinômio) e o maior valor que
atinge nesse intervalo é
, segue que
para todo
. Em particular, não pode existir
com
. Em palavras amigáveis: a função nunca chega a
no intervalo pedido — ela fica bem abaixo.
Resposta
Não existe
tal que
.