Questão 5: Considere a função f(x)=x^{3}-7 x^{2}+13 x-11. Exisie algum c \in(1,4) tal que f\text{(c)}=1 ? Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3}-7x^{2}+13x-11
e pergunta explicitamente: existe algum c\in(1,4) tal que f\text{(c)}=1 ?
Informações úteis fornecidas pelo enunciado:
  • A função f é um polinômio (definida para todo x\in\mathbb{R}).
  • O intervalo de interesse é (1,4).
  • O valor alvo é 1, isto é, queremos saber se a equação f(x)=1 tem solução em (1,4).

Passo 2

Primeiro objetivo: traduzir a pergunta para uma forma conveniente. Defino a função auxiliar
g(x)=f(x)-1.
A pergunta “existe c\in(1,4) tal que f\text{(c)}=1?” é equivalente à pergunta “existe c\in(1,4) tal que g\text{(c)}=0?” — ou seja, procurar raízes de g no intervalo (1,4).
Explicando devagar: g é também um polinômio (subtrair 1 apenas muda o termo constante), logo g é contínua e derivável em todo \mathbb{R}. Essas propriedades permitem estudar máximos e mínimos de g no intervalo fechado [1,4] e analisar sinais.

Passo 3

Calculo valores de f nos extremos inteiros do intervalo para ter uma ideia:
\begin{aligned} f(1)&=1^{3}-7\cdot1^{2}+13\cdot1-11=1-7+13-11=-4,\\[4pt] f(4)&=4^{3}-7\cdot4^{2}+13\cdot4-11=64-112+52-11=-7. \end{aligned}
Portanto
g(1)=f(1)-1=-4-1=-5,\qquad g(4)=f(4)-1=-7-1=-8.
Ambos g(1) e g(4) são negativos. Só isso não prova que não há raiz em (1,4), pois g poderia ser negativo nas extremidades e subir acima de zero no meio. Para ter certeza, é preciso analisar o comportamento de g dentro do intervalo.]

Passo 4

Como g é derivável, seus extremos internos (se existirem) ocorrem em pontos críticos onde g'(x)=0. Como g(x)=f(x)-1, tem-se g'(x)=f'(x). Calculo a derivada:
f'(x)=3x^{2}-14x+13.
Os pontos críticos resolvem
3x^{2}-14x+13=0.
Essa é uma equação quadrática; suas raízes são
x=\frac{14\pm\sqrt{14^{2}-4\cdot3\cdot13}}{2\cdot3}=\frac{14\pm\sqrt{196-156}}{6}=\frac{14\pm\sqrt{40}}{6}=\frac{7\pm\sqrt{10}}{3}.
Chamemos essas duas raízes de \alpha=\dfrac{7-\sqrt{10}}{3} e \beta=\dfrac{7+\sqrt{10}}{3}. Numericamente,
\alpha\approx1{,}279\quad\text{e}\quad\beta\approx3{,}387,
portanto ambas estão dentro do intervalo [1,4]. Assim os candidatos a extremos de f (e de g) em [1,4] são os pontos x=1, x=\alpha, x=\beta e x=4.

Passo 5

Agora é preciso comparar os valores de f (ou de g) nesses pontos para saber o máximo no intervalo. Em vez de calcular numericamente valores aproximados com muitas operações, faço uma manipulação algébrica elegante que dá f nos pontos críticos em forma simples.
Se r é uma raiz de f'(x)=0, então
3r^{2}-14r+13=0\quad\Rightarrow\quad r^{2}=\frac{14r-13}{3}.
Quero expressar f(r). Começo com r^{3}=r\cdot r^{2} e uso a relação acima:
r^{3}=r\cdot r^{2}=r\cdot\frac{14r-13}{3}=\frac{14r^{2}-13r}{3}.
Agora
\begin{aligned} f(r)&=r^{3}-7r^{2}+13r-11\\[4pt] &=\frac{14r^{2}-13r}{3}-7r^{2}+13r-11. \end{aligned}
Multiplicando ambos os lados por 3 para simplificar:
3f(r)=14r^{2}-13r-21r^{2}+39r-33=-7r^{2}+26r-33.
Substituo novamente r^{2}=\dfrac{14r-13}{3}:
3f(r)=-7\cdot\frac{14r-13}{3}+26r-33=\frac{-98r+91}{3}+26r-33.
Multiplicando por 3 outra vez:
9f(r)=-98r+91+78r-99=-20r-8.
Logo obtenho a fórmula simples e exata para f em qualquer ponto crítico r:
f(r)=-\frac{20r+8}{9}.]

Passo 6

Usando a fórmula anterior para os dois pontos críticos \alpha e \beta, vejo que ambos dão valores negativos (porque 20r+8>0 para r>0). Em particular, como \alpha\in(1,4), temos r=\alpha>1, então
f(\alpha)=-\frac{20\alpha+8}{9}<-\frac{20\cdot1+8}{9}=-\frac{28}{9}\approx-3{,}11.
Portanto f(\alpha)<-3{,}11. Já calculamos f(1)=-4 e f(4)=-7. Comparando:
f(\alpha)\approx -3{,}73\quad(\text{valor exato }-\tfrac{20\alpha+8}{9}),\qquad f(1)=-4,\qquad f(4)=-7.
O máximo de f em [1,4] é o maior entre esses valores; é f(\alpha), mas mesmo ele é negativo e, em particular, estritamente menor que 1.

Passo 7

Conclusão lógica: como f é contínua em [1,4] (polinômio) e o maior valor que f atinge nesse intervalo é f(\alpha)<-3{,}11, segue que f(x)<1 para todo x\in[1,4]. Em particular, não pode existir c\in(1,4) com f\text{(c)}=1. Em palavras amigáveis: a função nunca chega a 1 no intervalo pedido — ela fica bem abaixo.

Resposta

Não existe c\in(1,4) tal que f\text{(c)}=1.

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