Questão 7: Use o Teorema do Confronto para mostrar que \lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \cos (\pi x)=0.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos:
  • Pede para mostrar que \lim_{x\to 0} x^{2}\cos(\pi x)=0.
  • A função dada é f(x)=x^{2}\cos(\pi x).
  • Informação útil conhecida (que posso listar sem resolver ainda): a função \cos(t) satisfaz -1\le \cos(t)\le 1 para todo t.

Passo 2

Enunciado do Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) — explicação didática:
  • Suponha que existam três funções g(x), f(x) e h(x) tais que, num intervalo com x próximo de a (exceto possivelmente em a mesmo), g(x)\le f(x)\le h(x).
  • Se existir o limite comum \lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L,então também existe o limite de f em a e vale \lim_{x\to a} f(x)=L.
Explicação simples: se uma função fica “espremida” entre duas que tendem para o mesmo valor, ela também tem que tender para esse valor — como um sanduíche onde o recheio é forçado a ficar na mesma espessura das fatias.

Passo 3

Aplicando a desigualdade básica de \cos ao nosso caso:
  • Sabemos que, para todo x, -1 \le \cos(\pi x)\le 1.
  • Como x^{2}\ge 0 para todo x, podemos multiplicar a desigualdade por x^{2} sem inverter as desigualdades. Assim obtemos, para todo x, -x^{2} \le x^{2}\cos(\pi x)\le x^{2}.
Comentário sobre por que a multiplicação preserva a desigualdade: multiplicar por um número não-negativo mantém a ordem; aqui o fator é x^{2}, sempre não-negativo.

Passo 4

Calcular os limites das funções que ficam nas extremidades da desigualdade:
  • A função da direita é h(x)=x^{2}. Como x^{2} é contínua e x^{2}\to 0 quando x\to 0, temos \lim_{x\to 0} x^{2}=0.
  • A função da esquerda é g(x)=-x^{2}. Pelo mesmo raciocínio (continuidade e simetria), tem-se \lim_{x\to 0} -x^{2}=0.
Portanto as duas funções que “apertam” x^{2}\cos(\pi x) têm o mesmo limite, que é 0.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Confronto:
  • Temos, para x próximos de 0, -x^{2} \le x^{2}\cos(\pi x)\le x^{2},e \lim_{x\to 0} -x^{2}=\lim_{x\to 0} x^{2}=0.
  • Pelo Teorema do Confronto, podemos concluir que \lim_{x\to 0} x^{2}\cos(\pi x)=0.

Passo 6

Comentário final e intuição: a função \cos(\pi x) oscila entre -1 e 1, mas é multiplicada por x^{2}, que tende a zero muito rápido quando x\to 0. Assim essas oscilações ficam cada vez menores — o produto é “espremido” até zero.

Resposta

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