Questão 7: Use o Teorema do Confronto para mostrar que
.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos:
- Pede para mostrar que
. - A função dada é
. - Informação útil conhecida (que posso listar sem resolver ainda): a função
satisfaz para todo .
Passo 2
Enunciado do Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) — explicação didática:
- Suponha que existam três funções
, e tais que, num intervalo com próximo de (exceto possivelmente em mesmo), - Se existir o limite comum
então também existe o limite de em e vale
Explicação simples: se uma função fica “espremida” entre duas que tendem para o mesmo valor, ela também tem que tender para esse valor — como um sanduíche onde o recheio é forçado a ficar na mesma espessura das fatias.
Passo 3
Aplicando a desigualdade básica de
ao nosso caso:
- Sabemos que, para todo
, - Como
para todo , podemos multiplicar a desigualdade por sem inverter as desigualdades. Assim obtemos, para todo ,
Comentário sobre por que a multiplicação preserva a desigualdade: multiplicar por um número não-negativo mantém a ordem; aqui o fator é
, sempre não-negativo.
Passo 4
Calcular os limites das funções que ficam nas extremidades da desigualdade:
- A função da direita é
. Como é contínua e quando , temos - A função da esquerda é
. Pelo mesmo raciocínio (continuidade e simetria), tem-se
Portanto as duas funções que “apertam”
têm o mesmo limite, que é
.
Passo 5
Aplicando o Teorema do Confronto:
- Temos, para
próximos de , e - Pelo Teorema do Confronto, podemos concluir que
Passo 6
Comentário final e intuição: a função
oscila entre
e
, mas é multiplicada por
, que tende a zero muito rápido quando
. Assim essas oscilações ficam cada vez menores — o produto é “espremido” até zero.
Resposta
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