Questão 2. Considere a função
e encontre:
a) Os Intervalos de Crescimento e Decrescimento e os Máximos e Mínimos locais.
b) Concavidade e os Pontos de Inflexão.
a) Os Intervalos de Crescimento e Decrescimento e os Máximos e Mínimos locais.
b) Concavidade e os Pontos de Inflexão.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede em (a) os intervalos de crescimento e decrescimento, além dos extremos locais, e em (b) a concavidade e os pontos de inflexão. Vamos usar derivadas: a primeira derivada para monotonia e extremos, e a segunda derivada para concavidade e inflexão.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada:
Resolvendo
dá os pontos críticos
Passo 3
Analisamos o sinal de
:
- Para , tanto
quanto
, logo
e
(cresce).
- Para ,
mas
, logo
(decresce).
- Para , ambos fatores são positivos, logo
(cresce).
- Para
- Para
- Para
Em
a função muda de crescente para decrescente → máximo local.
Em muda de decrescente para crescente → mínimo local.
Calculamos
Em
Calculamos
Passo 4
Calculamos a segunda derivada:
Resolvendo
dá
Para
temos
(concavidade para baixo) e para
temos
(concavidade para cima). Logo
é ponto de inflexão.
Passo 5
Calculamos o valor de
em
:
Resposta
a) Intervalos de crescimento:
.
Intervalo de decrescimento: .
Máximo local em .
Mínimo local em .
Intervalo de decrescimento:
Máximo local em
Mínimo local em
b) Concavidade para baixo em
.
Concavidade para cima em .
Ponto de inflexão em .
Concavidade para cima em
Ponto de inflexão em