Questão 2. Considere a função f(x)=2 x^{3}-3 x^{2}-36 x e encontre:
a) Os Intervalos de Crescimento e Decrescimento e os Máximos e Mínimos locais.
b) Concavidade e os Pontos de Inflexão.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=2x^{3}-3x^{2}-36x e pede em (a) os intervalos de crescimento e decrescimento, além dos extremos locais, e em (b) a concavidade e os pontos de inflexão. Vamos usar derivadas: a primeira derivada para monotonia e extremos, e a segunda derivada para concavidade e inflexão.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x^{3}-3x^{2}-36x\bigr) =6x^{2}-6x-36 =6\bigl(x^{2}-x-6\bigr) =6(x-3)(x+2).
Resolvendo f'(x)=0 dá os pontos críticos
x=-2 \quad\text{e}\quad x=3.

Passo 3

Analisamos o sinal de f'(x)=6(x-3)(x+2):
- Para x<-2, tanto (x-3)<0 quanto (x+2)<0, logo (x-3)(x+2)>0 e f'(x)>0 (cresce).
- Para -2<x<3, (x+2)>0 mas (x-3)<0, logo f'(x)<0 (decresce).
- Para x>3, ambos fatores são positivos, logo f'(x)>0 (cresce).
Em x=-2 a função muda de crescente para decrescente → máximo local.
Em x=3 muda de decrescente para crescente → mínimo local.
Calculamos
f(-2)=2(-2)^{3}-3(-2)^{2}-36(-2)= -16-12+72=44,
f(3)=2\cdot27-3\cdot9-36\cdot3=54-27-108=-81.

Passo 4

Calculamos a segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(6x^{2}-6x-36\bigr) =12x-6.
Resolvendo f''(x)=0
12x-6=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac12.
Para x<\tfrac12 temos f''(x)<0 (concavidade para baixo) e para x>\tfrac12 temos f''(x)>0 (concavidade para cima). Logo x=\tfrac12 é ponto de inflexão.

Passo 5

Calculamos o valor de f em x=\tfrac12:
f\bigl(\tfrac12\bigr) =2\bigl(\tfrac12\bigr)^{3}-3\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}-36\bigl(\tfrac12\bigr) =\tfrac{2}{8}-\tfrac{3}{4}-18 =\tfrac14-\tfrac34-18 =-\tfrac12-18 =-\tfrac{37}{2}.

Resposta

a) Intervalos de crescimento: (-\infty,-2)\cup(3,\infty).
Intervalo de decrescimento: (-2,3).
Máximo local em \bigl(-2,44\bigr).
Mínimo local em \bigl(3,-81\bigr).
b) Concavidade para baixo em (-\infty,\tfrac12).
Concavidade para cima em (\tfrac12,\infty).
Ponto de inflexão em \bigl(\tfrac12,-\tfrac{37}{2}\bigr).

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