Questão 3. Considere a função f(x)=x^{3}-2 x^{2}-5 x+6. Faça o que se pede:
a) Determine o domínio.
b) Encontre as intersecções com os eixos x e y.
c) Determine as assíntotas horizontais e verticais (se existirem).
d) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento e os pontos de máximos e mínimos.
e) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
f) Construa o gráfico de f com as informações dos itens anteriores.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6
e pede:
a) domínio; b) intersecções com eixos; c) assíntotas; d) monotonicidade e extremos; e) concavidade e ponto de inflexão; f) esboço do gráfico.
O conteúdo é análise de um polinômio de grau 3, usando fatoração, derivadas primeira e segunda e estudo de sinal.

Passo 2

O domínio de todo polinômio é o conjunto dos números reais, logo
\Dom(f)=\mathbb{R}.

Passo 3

Para as intersecções:
– Eixo y: basta x=0, então
f(0)=6,
logo ponto (0,6).
– Eixo x: resolver f(x)=0. Fatorando:
x^{3}-2x^{2}-5x+6=(x-1)(x^{2}-x-6)=(x-1)(x-3)(x+2).
As raízes são x=-2,1,3, logo pontos (-2,0), (1,0) e (3,0).

Passo 4

Como f é polinomial de grau 3 não há assíntotas verticais nem horizontais.

Passo 5

Derivada primeira:
f'(x)=3x^{2}-4x-5.
Resolvendo f'(x)=0:
x=\frac{4\pm\sqrt{16+60}}{6}=\frac{2\pm\sqrt{19}}{3},
aprox. x_{1}\approx-0{,}786, x_{2}\approx2{,}120.
Estudo de sinal de f':
  • Para x<x_{1}, f'>0 \to crescente.
  • Para x_{1}<x<x_{2}, f'<0 \to decrescente.
  • Para x>x_{2}, f'>0 \to crescente.
Assim em x_{1} há máximo local e em x_{2} mínimo local.
Calculando:
f(x_{1})\approx8{,}210,\quad f(x_{2})\approx-4{,}067.

Passo 6

Derivada segunda:
f''(x)=6x-4.
Zero em x=\tfrac{4}{6}=\tfrac{2}{3}.
  • Para x<\tfrac{2}{3}, f''<0 \to concavidade voltada para baixo.
  • Para x>\tfrac{2}{3}, f''>0 \to concavidade voltada para cima.
    Logo há ponto de inflexão em
\Bigl(\tfrac{2}{3},\,f\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)\Bigr) \quad\text{com}\quad f\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)\approx2{,}074.

Passo 7

Esboço do gráfico com essas infos:
  • Vai de -\infty (para -\infty) crescendo e concavo para baixo até (-2,0), continua subindo até o máximo em \bigl(-0{,}786,8{,}210\bigr).
  • Depois decresce concavo para baixo até o ponto de inflexão \bigl(\tfrac{2}{3},2{,}074\bigr), segue decrescendo mas agora concavo para cima até o mínimo em \bigl(2{,}120,-4{,}067\bigr).
  • Finalmente cresce concavo para cima, cruzando o eixo x em (3,0) e indo a +\infty.

Resposta

a) \Dom(f)=\mathbb{R}.
b) Interseções: com o eixo y em (0,6); com o eixo x em (-2,0), (1,0) e (3,0).
c) Não há assíntotas horizontais nem verticais.
d) f' zera em x=\tfrac{2\pm\sqrt{19}}{3}\approx-0{,}786 e 2{,}120. Crescente em (-\infty,-0{,}786)\cup(2{,}120,\infty), decrescente em (-0{,}786,2{,}120). Máximo local em \bigl(-0{,}786,8{,}210\bigr), mínimo local em \bigl(2{,}120,-4{,}067\bigr).
e) f'' zera em x=\tfrac{2}{3}. Concava para baixo em (-\infty,\tfrac{2}{3}), para cima em (\tfrac{2}{3},\infty). Ponto de inflexão em \bigl(\tfrac{2}{3},2{,}074\bigr).
f) Gráfico: polinômio de grau 3 conforme esboço descrito no passo 7, com intercepts, extremos e inflexão marcados.

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