Questão 3. Considere a função
. Faça o que se pede:
a) Determine o domínio.
b) Encontre as intersecções com os eixos
e
.
c) Determine as assíntotas horizontais e verticais (se existirem).
d) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento e os pontos de máximos e mínimos.
e) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
f) Construa o gráfico de
com as informações dos itens anteriores.
a) Determine o domínio.
b) Encontre as intersecções com os eixos
c) Determine as assíntotas horizontais e verticais (se existirem).
d) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento e os pontos de máximos e mínimos.
e) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
f) Construa o gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
a) domínio; b) intersecções com eixos; c) assíntotas; d) monotonicidade e extremos; e) concavidade e ponto de inflexão; f) esboço do gráfico.
O conteúdo é análise de um polinômio de grau , usando fatoração, derivadas primeira e segunda e estudo de sinal.
a) domínio; b) intersecções com eixos; c) assíntotas; d) monotonicidade e extremos; e) concavidade e ponto de inflexão; f) esboço do gráfico.
O conteúdo é análise de um polinômio de grau
Passo 2
O domínio de todo polinômio é o conjunto dos números reais, logo
Passo 3
Para as intersecções:
– Eixo
: basta
, então
logo ponto
.
– Eixo
: resolver
. Fatorando:
As raízes são
, logo pontos
,
e
.
Passo 4
Como
é polinomial de grau
não há assíntotas verticais nem horizontais.
Passo 5
Derivada primeira:
Resolvendo
:
aprox.
,
.
Estudo de sinal de :
Estudo de sinal de
- Para
, crescente. - Para
, decrescente. - Para
, crescente.
Assim em
há máximo local e em
mínimo local.
Calculando:
Calculando:
Passo 6
Derivada segunda:
Zero em
.
- Para
, concavidade voltada para baixo. - Para
, concavidade voltada para cima.
Logo há ponto de inflexão em
Passo 7
Esboço do gráfico com essas infos:
- Vai de
(para ) crescendo e concavo para baixo até , continua subindo até o máximo em . - Depois decresce concavo para baixo até o ponto de inflexão
, segue decrescendo mas agora concavo para cima até o mínimo em . - Finalmente cresce concavo para cima, cruzando o eixo
em e indo a .
Resposta
a)
b) Interseções: com o eixo em
; com o eixo
em
,
e
.
c) Não há assíntotas horizontais nem verticais.
d) zera em
e
. Crescente em
, decrescente em
. Máximo local em
, mínimo local em
.
e) zera em
. Concava para baixo em
, para cima em
. Ponto de inflexão em
.
f) Gráfico: polinômio de grau conforme esboço descrito no passo
, com intercepts, extremos e inflexão marcados.
b) Interseções: com o eixo
c) Não há assíntotas horizontais nem verticais.
d)
e)
f) Gráfico: polinômio de grau