Sejam u=x+y e v=\frac{x}{y}. Calcule o determinante Jacobiano:
\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)}

Passo 1

O enunciado define uma transformação de variáveis dada por
u = x + y
v = \frac{x}{y}
e pede o determinante Jacobiano
\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}
Vamos usar a definição: se
J = \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y}\\[6pt] \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{pmatrix},
então o Jacobiano é \det J.]

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de u. Como u = x+y, temos
\frac{\partial u}{\partial x} = 1,
\frac{\partial u}{\partial y} = 1.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de v. Como v = \frac{x}{y}, trata-se de quociente, logo
\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{1}{y},
\frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{x}{y^2}.

Passo 4

Montamos a matriz Jacobiana e calculamos o determinante:
J = \begin{pmatrix} 1 & 1\\[4pt] \frac{1}{y} & -\frac{x}{y^2} \end{pmatrix},
\det J = 1 \cdot \Bigl(-\frac{x}{y^2}\Bigr) - 1 \cdot \frac{1}{y} = -\frac{x}{y^2} - \frac{1}{y} = -\frac{x+y}{y^2}.]

Resposta

\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = -\,\frac{x+y}{y^2}.

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