Questão 3. Considere a função f(x)=x^{4 / 3}-4 x^{1 / 3}
(a) (1.0) Determine os números críticos de f(x)
(b) (1.0) Determine os intervalos de crescimento, de decrescimento e os pontos de valores extremos locais de f(x).

Passo 1

O enunciado considera a função
f(x)=x^{4/3}-4\,x^{1/3}
e pede:
– (a) os números críticos de f;
– (b) os intervalos de crescimento e decrescimento e os extremum locais.
Para isso vamos usar derivadas, encontrar onde f'(x)=0 ou está indefinida, depois analisar o sinal de f' e aplicar o teste da primeira derivada.

Passo 2

Vamos calcular f'(x) para x\neq0.
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4/3}\bigr)-4\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/3}\bigr) =\frac{4}{3}\,x^{1/3}-4\cdot\frac{1}{3}\,x^{-2/3} =\frac{4}{3}\bigl(x^{1/3}-x^{-2/3}\bigr).
Colocando em evidência x^{-2/3}:
f'(x)=\frac{4}{3}\,x^{-2/3}\,(x-1).

Passo 3

Os números críticos são:
– soluções de f'(x)=0: isso dá x-1=0, logo x=1.
– pontos em que f' está indefinida, mas f está definida: x=0 (pois o fator x^{-2/3} explode).
Portanto os números críticos são
x=0,\quad x=1.

Passo 4

Para saber onde f cresce ou decresce, analisamos o sinal de f'(x)=\tfrac{4}{3}x^{-2/3}(x-1). Note que \tfrac{4}{3}x^{-2/3}>0 para todo x\neq0. Logo o sinal de f' é o mesmo de (x-1).
– Se x<1 (com x\neq0), então x-1<0 e f'(x)<0. Assim f é decrescente em (-\infty,0) e em (0,1).
– Se x>1, então x-1>0 e f'(x)>0. Assim f é crescente em (1,\infty).

Passo 5

Para classificar os pontos críticos pelo teste da primeira derivada:
– Em x=1, f' troca de sinal de negativo (à esquerda) para positivo (à direita), logo há um mínimo local. O valor é
f(1)=1^{4/3}-4\cdot1^{1/3}=1-4=-3.
– Em x=0, f' é negativo tanto à esquerda quanto à direita, portanto não há extremum local em x=0.

Resposta

(a) Os números críticos são x=0 e x=1.
(b) f é decrescente em (-\infty,0) e em (0,1), crescente em (1,\infty). Há um mínimo local em \bigl(1,-3\bigr)$ e não há máximo local.ãáá

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