Questão 3. Considere a função
(a) (1.0) Determine os números críticos de
(b) (1.0) Determine os intervalos de crescimento, de decrescimento e os pontos de valores extremos locais de
.
(a) (1.0) Determine os números críticos de
(b) (1.0) Determine os intervalos de crescimento, de decrescimento e os pontos de valores extremos locais de
Passo 1
O enunciado considera a função
e pede:
– (a) os números críticos de ;
– (b) os intervalos de crescimento e decrescimento e os extremum locais.
Para isso vamos usar derivadas, encontrar onde ou está indefinida, depois analisar o sinal de
e aplicar o teste da primeira derivada.
– (a) os números críticos de
– (b) os intervalos de crescimento e decrescimento e os extremum locais.
Para isso vamos usar derivadas, encontrar onde
Passo 2
Vamos calcular
para
.
Colocando em evidência
:
Passo 3
Os números críticos são:
– soluções de : isso dá
, logo
.
– pontos em que está indefinida, mas
está definida:
(pois o fator
explode).
Portanto os números críticos são
– soluções de
– pontos em que
Portanto os números críticos são
Passo 4
Para saber onde
cresce ou decresce, analisamos o sinal de
. Note que
para todo
. Logo o sinal de
é o mesmo de
.
– Se (com
), então
e
. Assim
é decrescente em
e em
.
– Se , então
e
. Assim
é crescente em
.
– Se
– Se
Passo 5
Para classificar os pontos críticos pelo teste da primeira derivada:
– Em ,
troca de sinal de negativo (à esquerda) para positivo (à direita), logo há um mínimo local. O valor é
– Em
– Em
,
é negativo tanto à esquerda quanto à direita, portanto não há extremum local em
.
Resposta
(a) Os números críticos são
e
.
(b) é decrescente em
e em
, crescente em
. Há um mínimo local em
(b)