Questão 6 Seja R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 0 \leq x \leq 1 \mathrm{e} 0 \leq y \leq e^{x / 2}\right\}. O volume do sólido obtido pela rotação de R em torno do eixo x é
A \pi(2 e-2)
  • \pi(e-1)
    (C) \pi(e-2)
D \pi(2 e-3)
E \pi(2 e-1)

Passo 1

O enunciado dá a região
R = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0 \le x \le 1,\;0 \le y \le e^{x/2}\}
e pede o volume do sólido gerado ao girar R em torno do eixo x. O método a usar é o dos discos (ou fatias): a seção transversal perpendicular ao eixo x é um círculo de raio y=e^{x/2}, cuja área vale \pi [e^{x/2}]^2.

Passo 2

Identificamos a função geradora do raio:
f(x) = e^{x/2},
para 0 \le x \le 1. O raio do disco em cada x é f(x), logo a área do disco é
A(x) = \pi [f(x)]^2 = \pi e^{x}.

Passo 3

Montamos o integral do volume pelo método dos discos:
V = \int_{x=0}^{1} A(x)\,dx = \pi \int_{0}^{1} e^{x}\,dx.

Passo 4

Calculamos o integral:
\int_{0}^{1} e^{x}\,dx = \bigl[e^{x}\bigr]_{0}^{1} = e^{1} - e^{0} = e - 1.
Multiplicando por \pi, temos
V = \pi\,(e - 1).

Resposta

\pi(e - 1)

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