Questão 5 O valor de \int_{1}^{2} 4 x \ln x d x é
(A) 2 \ln 2-4
(B) 4 \ln 2-3
(C) 4 \ln 2-4
(D) 8 \ln 2-4
(E) 8 \ln 2-3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2}4x\ln x\,dx
Esse é um caso clássico de integração por partes, em que escolhemos uma função para derivar e outra para integrar.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln x\quad\Longrightarrow\quad du = \frac{1}{x}\,dx
dv = 4x\,dx\quad\Longrightarrow\quad v = \int 4x\,dx = 2x^2

Passo 3

Pela fórmula da integração por partes,
\int_{1}^{2}4x\ln x\,dx = \Bigl[u\,v\Bigr]_{1}^{2} - \int_{1}^{2}v\,du = \Bigl[2x^2\ln x\Bigr]_{1}^{2} - \int_{1}^{2}2x^2\cdot\frac{1}{x}\,dx
= \Bigl[2x^2\ln x\Bigr]_{1}^{2} - \int_{1}^{2}2x\,dx

Passo 4

Calculando o termo de fronteira,
\Bigl[2x^2\ln x\Bigr]_{1}^{2} = 2\cdot2^2\ln2 - 2\cdot1^2\ln1 = 8\ln2 - 0 = 8\ln2

Passo 5

Agora a integral restante,
\int_{1}^{2}2x\,dx = \Bigl[x^2\Bigr]_{1}^{2} = 4 - 1 = 3
Logo
\int_{1}^{2}4x\ln x\,dx = 8\ln2 - 3

Passo 6

Comparando com as alternativas, corresponde à letra E.

Resposta

(E)

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