Questão 2.
Suponha que \varphi(x)=g\left(x^{2}, 3 x+1\right), em que g(u, v) é um função diferenciável. Sabendo que g_{x}(1,4)=1 e g_{y}(1,4)=2, calcule \varphi^{\prime}(1).

Passo 1

O enunciado define \displaystyle \varphi(x)=g\bigl(x^2,\,3x+1\bigr),
onde g(u,v) é diferenciável, e dá as derivadas parciais em (u,v)=(1,4): \,g_x(1,4)=1 e g_y(1,4)=2.
O objetivo é calcular \varphi'(1) usando a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia, temos
\varphi'(x)=g_x\bigl(x^2,3x+1\bigr)\cdot\frac{d}{dx}(x^2) \;+\; g_y\bigl(x^2,3x+1\bigr)\cdot\frac{d}{dx}(3x+1).
Como \frac{d}{dx}(x^2)=2x e \frac{d}{dx}(3x+1)=3, segue
\varphi'(x)=g_x\bigl(x^2,3x+1\bigr)\,2x \;+\; g_y\bigl(x^2,3x+1\bigr)\,3.

Passo 3

Agora avalia em x=1. Nesse ponto \bigl(x^2,3x+1\bigr)=(1,4), então
\varphi'(1) = g_x(1,4)\cdot2\cdot1 \;+\; g_y(1,4)\cdot3 = 1\cdot2 + 2\cdot3 = 2 + 6 = 8.

Resposta

8

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