Questão 3 Considere a função multivalorada dada por f(z)=z^2 z, z neq 0.
(1) (15 pontos) Determine f^prime(z) em qualquer z neq 0.
& f(z)=z^2 z=e^2 z log z therefore f^prime(z)=e^2 z log z cdot(2 z log z)^prime= & =z^2 z cdot 2(1 cdot log z+z cdot 1z)=2 z^2 z(log z+1)
(2) (15 pontos) Determine todos os valores de f(i). Qual é o valor principal de f(i) ?
f(i)=i^2 i & =e^2 i log i, MAS log (i) & =log (1 cdot e^i pi / 2) & =ln 1+i(pi2+2 k pi), k in Z & =(2 k+12) pi i therefore f(i) & =e^2 i cdot(2 k+12) pi i & =e^-2(2 k+12) pi & =e^-(4 k+1) pi, k in Z
  • valor principal de f(i) corresponde
A k=0, QUE RESULTA em f(i)=e^-pi.

Passo 1

O enunciado define a função multivalorada
f(z)=z^2z, zneq0
e pede duas coisas:
– em (1) calcular f'(z) para zneq0, aplicando a regra da cadeia numa expressão exponencial;
– em (2) avaliar todos os valores de f(i) usando a definição multivalorada de log i e, em seguida, indicar o valor principal.

Passo 2

Reescrevemos
f(z)=z^2z=e^2zlog z
Aplicando a regra da cadeia, temos
ddzl(2zlog zr) =2l(log z + zcdot1zr) =2(log z+1)
Logo
f'(z) =e^2zlog zcdot2(log z+1) =2,z^2z(log z+1)

Passo 3

Para z=i escrevemos
f(i)=i^2i=e^2ilog i
Como
log i =ln|i|+iarg(i) =0 + il(tfracpi2+2pi kr) = il(tfracpi2+2pi kr), kin Z,
segue
2ilog i =2icdot il(tfracpi2+2pi kr) =-2l(tfracpi2+2pi kr) =-(4k+1)pi
Portanto
f(i)=e^-(4k+1)pi, kin Z

Passo 4

O valor principal corresponde a escolher arg(i)=tfracpi2 (ou seja k=0). Assim
fprinc(i)=e^-,1pi=e^-pi

Resposta

(1) f'(z)=2,z^2z(log z+1)
(2) f(i)=e^-(4k+1)pi, kin Z, e o valor principal é e^-pi

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