Questão 4.
Encontre e classifique todos os pontos estacionários da função
f(x, y)=x y-x^2+y^3

Passo 1

Enunciado resumido: determinar e classificar todos os pontos estacionários da função f(x,y)=xy-x^2+y^3. Para isso, vamos usar derivadas parciais para encontrar pontos críticos e a matriz Hessiana para a classificação.

Passo 2

Cálculo das derivadas parciais primeiras: fx=partial fpartial x=y-2x e fy=partial fpartial y=x+3y^2.

Passo 3

Resolução do sistema fx=0 e fy=0: da equação y-2x=0 vem y=2x. Substituindo em x+3y^2=0 obtemos x+12x^2=0, logo x=0 ou x=-tfrac112. Assim, os pontos críticos são (0,0) e (-tfrac112,-tfrac16).

Passo 4

Cálculo das segundas derivadas: fxx=partial^2fpartial x^2=-2, fyy=partial^2fpartial y^2=6y e fxy=partial^2fpartial xpartial y=1. Critério de Hessiana: D(x,y)=fxxfyy-(fxy)^2=-12y-1.

Passo 5

Classificação nos pontos críticos: em (0,0), D=-1<0, indicando ponto de sela. Em (-tfrac112,-tfrac16), D=1>0 e fxx=-2<0, logo é máximo local.

Resposta

Os pontos estacionários são (0,0) e (-tfrac112,-tfrac16). O ponto (0,0) é ponto de sela e (-tfrac112,-tfrac16) é máximo local.

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