Questão 5 Considere a função
f(x, y, z)=7 x^{3}-\sqrt{7} x y+14 z .
O valor do gradiente de f no ponto P(1,1,0) é:
\nabla f(1,1,0)=(21-\sqrt{7},-1,14)
\nabla f(1,1,0)=(7-\sqrt{7},-\sqrt{7}, 14)
\nabla f(1,1,0)=(21-\sqrt{7},-\sqrt{7}, 14)
\nabla f(1,1,0)=(21-\sqrt{7}, \sqrt{7}, 14)
\nabla f(1,1,0)=(21,-\sqrt{7}, 0)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=7x^{3}-\sqrt{7}\,x y+14z
e o ponto P(1,1,0). A pergunta é: qual é o valor do gradiente de f no ponto P(1,1,0)? Ou seja, encontrar \nabla f(1,1,0).

Passo 2

Lembrete do que é o gradiente: o gradiente de uma função f(x,y,z) é o vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a cada variável. Escrevendo:
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\\ \frac{\partial f}{\partial y},\\ \frac{\partial f}{\partial z}\right).
Uma derivada parcial \frac{\partial f}{\partial x} significa: derivar f em relação a x mantendo y e z fixos (ou seja, tratá-los como constantes). O mesmo vale para as outras variáveis.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
Termos de f:
  • 7x^{3}: usar a regra da potência, \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Assim,
\frac{\partial}{\partial x}\big(7x^{3}\big)=7\cdot 3x^{2}=21x^{2}.
  • -\sqrt{7}\,x y: aqui y é tratado como constante, e -\sqrt{7}\,y é apenas um coeficiente multiplicando x. Então
\frac{\partial}{\partial x}\big(-\sqrt{7}\,x y\big)=-\sqrt{7}\,y.
  • 14z: como z é constante ao derivar em relação a x, essa derivada é 0.
Somando:
\frac{\partial f}{\partial x}=21x^{2}-\sqrt{7}\,y.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
Termos de f:
  • 7x^{3}: independe de y, derivada é 0.
  • -\sqrt{7}\,x y: agora x é tratado como constante, então a derivada em relação a y é -\sqrt{7}\,x.
  • 14z: independe de y, derivada 0.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=-\sqrt{7}\,x.

Passo 5

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}.
Termos de f:
  • 7x^{3} e -\sqrt{7}\,x y não dependem de z, derivadas 0.
  • 14z: é linear em z, a derivada é o coeficiente 14.
Então
\frac{\partial f}{\partial z}=14.

Passo 6

Agora montamos o gradiente geral:
\nabla f(x,y,z)=\big(21x^{2}-\sqrt{7}\,y,\\\ -\sqrt{7}\,x,\\\ 14\big).

Passo 7

Avaliar o gradiente no ponto P(1,1,0), ou seja, substituir x=1 e y=1:
\frac{\partial f}{\partial x}\Big|_{(1,1,0)}=21\cdot 1^{2}-\sqrt{7}\cdot 1=21-\sqrt{7},
\frac{\partial f}{\partial y}\Big|_{(1,1,0)}=-\sqrt{7}\cdot 1=-\sqrt{7},
\frac{\partial f}{\partial z}\Big|_{(1,1,0)}=14.

Passo 8

Portanto o gradiente no ponto P(1,1,0) é
\nabla f(1,1,0)=\big(21-\sqrt{7},\\\ -\sqrt{7},\\\ 14\big).

Resposta

\nabla f(1,1,0)=(21-\sqrt{7},-\sqrt{7},14)

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