Questão 4 Use o Teorema de Green para calcular
\oint_{C}\left(3 x^{2}-y\right) d x+(x+2 y) d y
onde C é o retângulo com vértices (0,0),(2,0),(2,2) e (0,2), com orientação positiva.
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Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
\oint_{C}\left(3 x^{2}-y\right) d x+(x+2 y) d y
onde C é o retângulo com vértices (0,0),(2,0),(2,2) e (0,2), com orientação positiva (sentido anti-horário).\n
As informações relevantes que temos:
  • A integranda está na forma P\,dx+Q\,dy com P(x,y)=3x^{2}-y e Q(x,y)=x+2y.
  • A curva C é a fronteira do retângulo D=\{(x,y)\mid 0\le x\le2,\;0\le y\le2\}, orientada positivamente.
  • O objetivo é obter o valor numérico da integral de linha fechada.

Passo 2

Vou usar um resultado que transforma uma integral de linha fechada numa integral dupla sobre a região interna: para uma curva fechada C positiva e uma região D limitada por C vale
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Explicando essa fórmula de forma bem clara:
  • P e Q são as componentes do campo no integrando; aqui P(x,y)=3x^{2}-y e Q(x,y)=x+2y.
  • \dfrac{\partial Q}{\partial x} significa derivar Q em relação a x, tratando y como constante.
  • \dfrac{\partial P}{\partial y} significa derivar P em relação a y, tratando x como constante.
  • dA é o elemento de área no plano (pense em somar pequenos retângulos dx\,dy em D).
  • Orientação positiva = contorno percorrido no sentido anti-horário; a fórmula acima assume essa orientação.

Passo 3

Verificação rápida das hipóteses: P e Q são polinômios em x,y, portanto têm derivadas parciais contínuas em toda a região. A região D é o retângulo simples [0,2]\times[0,2]. Logo a fórmula do passo anterior pode ser aplicada.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais pedidas (faça isso devagar na prova):
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x+2y)=1, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}-y)=-1.
Portanto o integrando da integral dupla fica
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1-(-1)=2.
Comentário intuitivo: o integrando é constante e igual a 2 em toda a região — facilita muito a conta.

Passo 5

Montar a integral dupla sobre o retângulo D=\{0\le x\le2,\;0\le y\le2\}:
\iint_{D}2\,dA=\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{2}2\,dy\,dx.

Passo 6

Calcular as integrais internas passo a passo (para poder fazer sem calculadora):
\int_{y=0}^{2}2\,dy=\bigl[2y\bigr]_{0}^{2}=2\cdot 2-2\cdot 0=4.
Agora a integral externa:
\int_{x=0}^{2}4\,dx=\bigl[4x\bigr]_{0}^{2}=4\cdot 2-4\cdot 0=8.

Passo 7

Concluo que a integral de linha é igual a 8. Isso coincide com a intuição: integrando a função constante 2 sobre a área do retângulo (área =2\cdot2=4) dá 2\cdot4=8. A orientação positiva foi usada corretamente na aplicação da fórmula.

Resposta

8

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