Questão 4 Use o Teorema de Green para calcular
onde
é o retângulo com vértices
e
, com orientação positiva.
□ -4
□ -8
□ 4
□ 8
□ 0
□ -4
□ -8
□ 4
□ 8
□ 0
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
onde
é o retângulo com vértices
e
, com orientação positiva (sentido anti-horário).\n
As informações relevantes que temos:
As informações relevantes que temos:
- A integranda está na forma
com e . - A curva
é a fronteira do retângulo , orientada positivamente. - O objetivo é obter o valor numérico da integral de linha fechada.
Passo 2
Vou usar um resultado que transforma uma integral de linha fechada numa integral dupla sobre a região interna: para uma curva fechada
positiva e uma região
limitada por
vale
Explicando essa fórmula de forma bem clara:
-
e são as componentes do campo no integrando; aqui e . -
significa derivar em relação a , tratando como constante. -
significa derivar em relação a , tratando como constante. -
é o elemento de área no plano (pense em somar pequenos retângulos em ). - Orientação positiva = contorno percorrido no sentido anti-horário; a fórmula acima assume essa orientação.
Passo 3
Verificação rápida das hipóteses:
e
são polinômios em
, portanto têm derivadas parciais contínuas em toda a região. A região
é o retângulo simples
. Logo a fórmula do passo anterior pode ser aplicada.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais pedidas (faça isso devagar na prova):
Portanto o integrando da integral dupla fica
Comentário intuitivo: o integrando é constante e igual a
em toda a região — facilita muito a conta.
Passo 5
Montar a integral dupla sobre o retângulo
:
Passo 6
Calcular as integrais internas passo a passo (para poder fazer sem calculadora):
Agora a integral externa:
Passo 7
Concluo que a integral de linha é igual a
. Isso coincide com a intuição: integrando a função constante
sobre a área do retângulo (área
) dá
. A orientação positiva foi usada corretamente na aplicação da fórmula.