2^{\underline{\mathrm{O}}} QUESTÃO (0,6 PONTOS): Resolver o sistema de equações utilizando a técnica de fatoração LU, admitindo 4 casas decimais nos resultados.
A.1.) Mostrar a metodologia da técnica de fatoração LU.
A.2.) Fazer 6 soluções S_{x}^{(1)}, \ldots, S_{x}^{(6)}.
Passo 1
O enunciado pede para resolver um sistema linear usando a técnica de fatoração LU e, em seguida, apresentar seis soluções iterativas [S_{x}{(1)},\dots,S_{x}{(6)}). Vou listar claramente o que nos foi dado e o que se pede.
Sistema linear (peguei os coeficientes do enunciado):
A.1) Mostrar a metodologia da técnica de fatoração LU (explicar e aplicar).
A.2) Gerar seis soluções iterativas (S_x{(1)},\ldots,S_x{(6)}]. Vou usar o método de Gauss–Seidel para essas iterações (o chute inicial é típico de métodos iterativos); antes, uso LU para obter a solução direta exata (com 4 casas decimais).]
Passo 2
Breve aula sobre fatoração LU (metodologia) — o que é e por que usar.
Objetivo: decompor a matriz A por trás do sistema A x = b como
A = L\,U,
onde L é triangular inferior com 1s na diagonal e U é triangular superior. Essa decomposição permite resolver A x=b em dois passos:
Resolver L y = b por substituição progressiva (forward substitution).
Resolver U x = y por substituição regressiva (back substitution).
Vantagens: uma vez obtido L e U, resolver por diferentes vetores b é barato; também evita repetir eliminação inteira. A decomposição que vou usar é a Doolittle (diagonal de L igual a 1). As fórmulas (esquemáticas) são:
Isso conclui a parte A.1: fatoração LU aplicada e solução direta obtida.]
Passo 6
Agora a parte A.2: fazer 6 soluções S_x^{(1)},\dots,S_x^{(6)}. Aqui uso o método de Gauss–Seidel (iterativo), porque foi fornecido um chute inicial S_x^{(0)}. Explico a fórmula usada (cada passo é explícito):
A partir do sistema, isolando as incógnitas na forma conveniente para iteração:
Observação final (motivação): as iterações de Gauss–Seidel convergem aqui (lentamente) para a solução direta obtida por LU, que é (-0,0617,\;0,0650,\;0,1050)^t. Usei 4 casas decimais ao apresentar os S_x^{(k)}.]