2^{\underline{\mathrm{O}}} QUESTÃO (0,6 PONTOS): Resolver o sistema de equações utilizando a técnica de fatoração LU, admitindo 4 casas decimais nos resultados.
\left\{\begin{array}{l} 18 x_{1}^{(k)}+3 x_{2}^{(k)}+7 x_{3}^{(k)}=-0,18 \quad S_{y}^{(0)}=\left(y_{1}^{(0)}=0 y_{2}^{(0)}=0 y_{3}^{(0)}=0\right)^{t} \\\\ 9 x_{1}^{(k)}+16 x_{2}^{(k)}-3 x_{3}^{(k)}=0,17 ; \\\\ 15 x_{1}^{(k)}-7 x_{2}^{(k)}+12 x_{3}^{(k)}=-0,12 S_{x}^{(0)}=\left(x_{1}^{(0)}=0,1 x_{2}^{(0)}=1,3 x_{3}^{(0)}=0,8\right)^{t} \end{array}\right.
A.1.) Mostrar a metodologia da técnica de fatoração LU.
A.2.) Fazer 6 soluções S_{x}^{(1)}, \ldots, S_{x}^{(6)}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver um sistema linear usando a técnica de fatoração LU e, em seguida, apresentar seis soluções iterativas [S_{x}{(1)},\dots,S_{x}{(6)}). Vou listar claramente o que nos foi dado e o que se pede.
  • Sistema linear (peguei os coeficientes do enunciado):
\begin{cases} 18x_1+3x_2+7x_3=-0,18,\\[4pt] 9x_1+16x_2-3x_3=0,17,\\[4pt] 15x_1-7x_2+12x_3=-0,12. \end{cases}
  • Vetor de termos independentes (lado direito) é
b=\begin{pmatrix}-0,18\\[2pt]0,17\\[2pt]-0,12\end{pmatrix}.
  • Foram fornecidos também vetores iniciais (isto sugere fazer iterações a partir de um chute inicial):
S_{y}^{(0)}=\begin{pmatrix}y_1^{(0)}=0\\[2pt]y_2^{(0)}=0\\[2pt]y_3^{(0)}=0\end{pmatrix},\qquad S_{x}^{(0)}=\begin{pmatrix}x_1^{(0)}=0,1\\[2pt]x_2^{(0)}=1,3\\[2pt]x_3^{(0)}=0,8\end{pmatrix}.
O que o enunciado pede em duas partes:
  • A.1) Mostrar a metodologia da técnica de fatoração LU (explicar e aplicar).
  • A.2) Gerar seis soluções iterativas (S_x{(1)},\ldots,S_x{(6)}]. Vou usar o método de Gauss–Seidel para essas iterações (o chute inicial é típico de métodos iterativos); antes, uso LU para obter a solução direta exata (com 4 casas decimais).]

Passo 2

Breve aula sobre fatoração LU (metodologia) — o que é e por que usar.
  • Objetivo: decompor a matriz A por trás do sistema A x = b como
A = L\,U,
onde L é triangular inferior com 1s na diagonal e U é triangular superior. Essa decomposição permite resolver A x=b em dois passos:
  1. Resolver L y = b por substituição progressiva (forward substitution).
  2. Resolver U x = y por substituição regressiva (back substitution).
  • Vantagens: uma vez obtido L e U, resolver por diferentes vetores b é barato; também evita repetir eliminação inteira. A decomposição que vou usar é a Doolittle (diagonal de L igual a 1). As fórmulas (esquemáticas) são:
\begin{aligned} u_{1j} &= a_{1j},\quad j=1,\dots,n,\\\ \ell_{i1} &= \dfrac{a_{i1}}{u_{11}},\quad i=2,\dots,n, \end{aligned}
e, de modo geral, durante a eliminação:
\begin{aligned} u_{ij} &= a_{ij} - \sum_{k=1}^{i-1}\ell_{ik}u_{kj}\quad\text{(para }i\le j\text{)},\\[4pt] \ell_{ij} &= \dfrac{1}{u_{jj}}\left(a_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1}\ell_{ik}u_{kj}\right)\quad\text{(para }i>j\text{)}. \end{aligned}
  • Depois, para L y=b: y_1=b_1, y_2=b_2-\ell_{21}y_1, etc.
  • Para U x=y: x_n = y_n/u_{nn}, x_{n-1}=(y_{n-1}-u_{\,n-1,n}x_n)/u_{n-1,n-1}, etc.
Agora aplico essa metodologia ao nosso sistema 3×3.]

Passo 3

Formar a matriz A e aplicar Doolittle (sem pivotamento, pois o pivô u_{11}=18 é não nulo):
A=\begin{pmatrix} 18 & 3 & 7\\[4pt] 9 & 16 & -3\\[4pt] 15 & -7 & 12 \end{pmatrix}.
Começo calculando a primeira linha de U e a primeira coluna de L:
u_{11}=18,\qquad u_{12}=3,\qquad u_{13}=7.
\ell_{21}=\frac{9}{18}=0,5,\qquad \ell_{31}=\frac{15}{18}=0,833333\ldots
Agora calculo os elementos de U na linha 2 e 3, subtraindo o efeito da primeira coluna já eliminada:
u_{22}=a_{22}-\ell_{21}u_{12}=16-0,5\cdot 3=16-1,5=14,5,
u_{23}=a_{23}-\ell_{21}u_{13}=-3-0,5\cdot 7=-3-3,5=-6,5.
Para a linha 3 (coluna 2 já afetada pela eliminação do primeiro pivô):
\text{primeiro calc. } a_{32}-\ell_{31}u_{12} = -7 - 0,833333\ldots\cdot 3 = -7 - 2,5 = -9,5.
Então
\ell_{32}=\frac{-9,5}{u_{22}}=\frac{-9,5}{14,5}\approx -0,6551724138.
Finalmente, o elemento u_{33} é
u_{33}=a_{33}-\ell_{31}u_{13}-\ell_{32}u_{23}.
Calculemos numericamente:
\ell_{31}u_{13}=0,833333\ldots\cdot 7=5,833333\ldots,
\ell_{32}u_{23}=(-0,6551724138)\cdot(-6,5)=4,2586206897.
Logo
u_{33}=12 - 5,833333\ldots - 4,2586206897 \approx 1,908045977.
Portanto, com 10 dígitos intermediários temos (arredondando para mostrar):
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0{,}5 & 1 & 0\\[4pt] 0{,}833333\ldots & -0{,}6551724138 & 1 \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} 18 & 3 & 7\\[4pt] 0 & 14{,}5 & -6{,}5\\[4pt] 0 & 0 & 1{,}908045977 \end{pmatrix}.
(Se preferir, arredondando L e U para 4 casas decimais onde apropriado:
L\approx\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0{,}5000 & 1 & 0\\[4pt] 0{,}8333 & -0{,}6552 & 1 \end{pmatrix},\quad U\approx\begin{pmatrix} 18{,}0000 & 3{,}0000 & 7{,}0000\\[4pt] 0 & 14{,}5000 & -6{,}5000\\[4pt] 0 & 0 & 1{,}9080 \end{pmatrix}.) )

Passo 4

Resolver L y = b por substituição progressiva. Escrevendo b com vírgulas decimais:
b=\begin{pmatrix}-0,18\\[2pt]0,17\\[2pt]-0,12\end{pmatrix}.
Cálculos passo a passo:
y_1 = b_1 = -0,18.
y_2 = b_2 - \ell_{21}y_1 = 0,17 - 0{,}5\cdot(-0,18)=0,17+0,09=0,26.
y_3 = b_3 - \ell_{31}y_1 - \ell_{32}y_2 = -0,12 - 0{,}833333\ldots\cdot(-0,18) - (-0{,}6551724138)\cdot 0,26.
Calculemos numericamente (mantendo boa precisão):
0{,}833333\ldots\cdot(-0,18)=-0,15\quad\Rightarrow\quad -0,12 -(-0,15)=0,03.
(-0{,}6551724138)\cdot 0,26 \approx -0,1703448276\quad\Rightarrow\quad 0,03 -(-0,1703448276)=0,2003448276.
Assim:
y\approx\begin{pmatrix}-0,18\\[2pt]0,26\\[2pt]0,2003448276\end{pmatrix}.]

Passo 5

Resolver U x = y por substituição regressiva.
Equações:
\begin{aligned} u_{33}x_3 &= y_3 \quad\Rightarrow\quad x_3=\dfrac{y_3}{u_{33}},\\[4pt] u_{22}x_2+u_{23}x_3 &= y_2\quad\Rightarrow\quad x_2=\dfrac{y_2-u_{23}x_3}{u_{22}},\\[4pt] u_{11}x_1+u_{12}x_2+u_{13}x_3 &= y_1\quad\Rightarrow\quad x_1=\dfrac{y_1-u_{12}x_2-u_{13}x_3}{u_{11}}. \end{aligned}
Cálculos numéricos (mantendo precisão e arredondando somente no final para 4 casas decimais):
x_3=\frac{0,2003448276}{1,908045977}=0,1050\quad(\text{exatamente }0,105\text{ até os dígitos mostrados}).éí
x_2=\frac{0,26 - (-6,5)\cdot 0,105}{14,5}=\frac{0,26 + 0,6825}{14,5}=\frac{0,9425}{14,5}=0,0650.
x_1=\frac{-0,18 - 3\cdot 0,065 - 7\cdot 0,105}{18}=\frac{-0,18 -0,195 -0,735}{18}=\frac{-1,11}{18}=-0,061666\ldots
Arredondando para 4 casas decimais:
x_1\approx -0,0617,\qquad x_2\approx 0,0650,\qquad x_3\approx 0,1050.
Isso conclui a parte A.1: fatoração LU aplicada e solução direta obtida.]

Passo 6

Agora a parte A.2: fazer 6 soluções S_x^{(1)},\dots,S_x^{(6)}. Aqui uso o método de Gauss–Seidel (iterativo), porque foi fornecido um chute inicial S_x^{(0)}. Explico a fórmula usada (cada passo é explícito):
A partir do sistema, isolando as incógnitas na forma conveniente para iteração:
\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-0,18 - 3x_2 - 7x_3}{18},\\[4pt] x_2 &= \dfrac{0,17 - 9x_1 + 3x_3}{16},\\[4pt] x_3 &= \dfrac{-0,12 - 15x_1 + 7x_2}{12}. \end{aligned}
No Gauss–Seidel, no cálculo de x_i^{(k)} usa-se imediatamente os valores mais novos disponíveis (dentro da mesma iteração).
Ponto de partida (dado):
S_x^{(0)}=\begin{pmatrix}0,1\\[2pt]1,3\\[2pt]0,8\end{pmatrix}.]

Passo 7

Cálculo das iterações S_x^{(1)} e S_x^{(2)} — mostrar detalhadamente a 1ª e 2ª iteração (os demais seguem mesma rotina).
Iteração 1 ( k=1):
\begin{aligned} x_1^{(1)} &= \dfrac{-0,18 -3(1,3) -7(0,8)}{18} = \dfrac{-0,18 -3,9 -5,6}{18}=\dfrac{-9,68}{18}=-0,5377777778\approx -0,5378,\\[6pt] x_2^{(1)} &= \dfrac{0,17 -9(-0,5377777778)+3(0,8)}{16} = \dfrac{0,17 +4,84 +2,4}{16}=\dfrac{7,41}{16}=0,463125\approx 0,4631,\\[6pt] x_3^{(1)} &= \dfrac{-0,12 -15(-0,5377777778)+7(0,463125)}{12} = \dfrac{-0,12 +8,0666666667 +3,241875}{12} =\dfrac{11,1885416667}{12}=0,9323784722\approx 0,9324. \end{aligned}
Portanto
S_x^{(1)}\approx\begin{pmatrix}-0,5378\\[2pt]0,4631\\[2pt]0,9324\end{pmatrix}.
Iteração 2 ( k=2):
\begin{aligned} x_1^{(2)} &= \dfrac{-0,18 -3(0,463125) -7(0,9323784722)}{18}\approx -0,4497790726\approx -0,4498,\\[4pt] x_2^{(2)} &= \dfrac{0,17 -9(-0,4497790726)+3(0,9323784722)}{16}\approx 0,4384466919\approx 0,4384,\\[4pt] x_3^{(2)} &= \dfrac{-0,12 -15(-0,4497790726)+7(0,4384466919)}{12}\approx 0,80798441096\approx 0,8080. \end{aligned}
Logo
S_x^{(2)}\approx\begin{pmatrix}-0,4498\\[2pt]0,4384\\[2pt]0,8080\end{pmatrix}.]

Passo 8

Continuo as iterações 3 a 6 (cada uma usando os valores mais recentes):
Iteração 3:
\begin{aligned} x_1^{(3)} &\approx -0,3972906085 \approx -0,3973,\\\ x_2^{(3)} &\approx 0,3855980443 \approx 0,3856,\\\ x_3^{(3)} &\approx 0,7115454531 \approx 0,7115. \end{aligned}
S_x^{(3)}\approx\begin{pmatrix}-0,3973\\[2pt]0,3856\\[2pt]0,7115\end{pmatrix}.
Iteração 4:
\begin{aligned} x_1^{(4)} &\approx -0,3509784614 \approx -0,3510,\\\ x_2^{(4)} &\approx 0,34146515697 \approx 0,3415,\\\ x_3^{(4)} &\approx 0,62791100161 \approx 0,6279. \end{aligned}
S_x^{(4)}\approx\begin{pmatrix}-0,3510\\[2pt]0,3415\\[2pt]0,6279\end{pmatrix}.
Iteração 5:
\begin{aligned} x_1^{(5)} &\approx -0,3110984712 \approx -0,3111,\\\ x_2^{(5)} &\approx 0,3033512029 \approx 0,3034,\\\ x_3^{(5)} &\approx 0,55582795738 \approx 0,5558. \end{aligned}
S_x^{(5)}\approx\begin{pmatrix}-0,3111\\[2pt]0,3034\\[2pt]0,5558\end{pmatrix}.
Iteração 6:
\begin{aligned} x_1^{(6)} &\approx -0,2767138506 \approx -0,2767,\\\ x_2^{(6)} &\approx 0,27049428296 \approx 0,2705,\\\ x_3^{(6)} &\approx 0,49368068660 \approx 0,4937. \end{aligned}
S_x^{(6)}\approx\begin{pmatrix}-0,2767\\[2pt]0,2705\\[2pt]0,4937\end{pmatrix}.
Observação final (motivação): as iterações de Gauss–Seidel convergem aqui (lentamente) para a solução direta obtida por LU, que é (-0,0617,\;0,0650,\;0,1050)^t. Usei 4 casas decimais ao apresentar os S_x^{(k)}.]

Resposta

A.1) \displaystyle x=\begin{pmatrix}-0,0617\\[2pt]0,0650\\[2pt]0,1050\end{pmatrix}.
A.2)
\displaystyle S_x^{(1)}=\begin{pmatrix}-0,5378\\[2pt]0,4631\\[2pt]0,9324\end{pmatrix}
\displaystyle S_x^{(2)}=\begin{pmatrix}-0,4498\\[2pt]0,4384\\[2pt]0,8080\end{pmatrix}
\displaystyle S_x^{(3)}=\begin{pmatrix}-0,3973\\[2pt]0,3856\\[2pt]0,7115\end{pmatrix}
\displaystyle S_x^{(4)}=\begin{pmatrix}-0,3510\\[2pt]0,3415\\[2pt]0,6279\end{pmatrix}
\displaystyle S_x^{(5)}=\begin{pmatrix}-0,3111\\[2pt]0,3034\\[2pt]0,5558\end{pmatrix}
\displaystyle S_x^{(6)}=\begin{pmatrix}-0,2767\\[2pt]0,2705\\[2pt]0,4937\end{pmatrix}]

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