Questão 4
b) Considere um gás que obedece a equação de estado P V_{m}=300 \mathrm{~K} \times R \times\left(1-\frac{0,7}{a t m} P\right).
Determine, para esse gás, a pressão interna na temperatura de 300 K e \mathrm{P}=1,0 \mathrm{~atm}.

Passo 1

O enunciado dá a equação de estado do gás na forma
P\,V_{m}=R\,T\Bigl(1 - b\,P\Bigr)
com T=300\\ \mathrm{K} e b=0,7\\ \mathrm{atm}^{-1}. Pede-se a pressão interna \pi_{T}=(\partial U/\partial V)_{T} a T=300\\ \mathrm{K} e P=1,0\\ \mathrm{atm}. Vamos usar a relação termodinâmica
\pi_{T} =\Bigl(\frac{\partial U}{\partial V}\Bigr)_{T} = T\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_{V} - P.

Passo 2

Diferenciando a equação de estado em relação a T a V_{m} constante, temos
P\,V_{m} =R\,T\,(1 - b\,P) \;\Longrightarrow\; V_{m}\,\frac{\partial P}{\partial T} =R\,(1 - b\,P)\;-\;R\,T\,b\,\frac{\partial P}{\partial T}.
Reagrupando os termos em \partial P/\partial T, surge
\frac{\partial P}{\partial T} =\frac{R\,(1 - b\,P)}{V_{m}+b\,R\,T}.
Mas da equação original V_{m}+b\,R\,T=R\,T/P. Logo
\frac{\partial P}{\partial T} =\frac{R\,(1 - b\,P)}{(R\,T)/P} =\frac{P\,(1 - b\,P)}{T}.

Passo 3

Agora aplicamos
\pi_{T} = T\,\frac{\partial P}{\partial T} - P = T\;\frac{P\,(1 - b\,P)}{T} - P = P\,(1 - b\,P) - P = -\,b\,P^{2}.
Para b=0,7\\ \mathrm{atm}^{-1} e P=1,0\\ \mathrm{atm} resulta
\pi_{T} =-\,0,7\times(1,0)^{2} =-\,0,7\\ \mathrm{atm}.

Resposta

\pi_{T}=-0,7\\ \mathrm{atm}

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