Questão 2 Considere a hipérbole: (1,5)
\frac{y^{2}}{49}-\frac{x^{2}}{9}=1
a) Determine os vértices e a excentricidade.
b) Determine os eixos e os focos.

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole
\frac{y^{2}}{49}-\frac{x^{2}}{9}=1.
Isso é uma hipérbole com eixo transverso vertical. Precisamos achar nos itens: (a) os vértices e a excentricidade; (b) os eixos de simetria e os focos.

Passo 2

Comparando com a forma padrão
\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1,
vemos que a^{2}=49 e b^{2}=9. Logo
a=7, \quad b=3.

Passo 3

Os vértices são os pontos em que y=\pm a e x=0. Assim, os vértices são
(0,7) \quad\text{e}\quad (0,-7).

Passo 4

A excentricidade de uma hipérbole é
e=\frac{c}{a},
onde c satisfaz c^{2}=a^{2}+b^{2}. Calculando:
c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{49+9}=\sqrt{58},
e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{58}}{7}.

Passo 5

Os focos ficam em (0,\pm c). Portanto,
(0,\sqrt{58}) \quad\text{e}\quad (0,-\sqrt{58}).

Passo 6

Os eixos de simetria são:
– eixo transverso: reta vertical x=0 que vai de (0,-7) a (0,7);
– eixo conjugado: reta horizontal y=0 que vai de (-3,0) a (3,0).

Resposta

a) Vértices: (0,7) e (0,-7). Excentricidade: \tfrac{\sqrt{58}}{7}.
b) Eixos de simetria: eixo transverso em x=0 entre y=-7 e y=7; eixo conjugado em y=0 entre x=-3 e x=3. Focos: (0,\sqrt{58}) e (0,-\sqrt{58}).

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