Seja a forma quadrática q(x, y)=3 x^{2}-6 x y+11 y^{2}. Determine:
a) A matriz simétrica A que representa q(x, y).
b) As matrizes P e D que diagonalizam ortogonalmente ( A=P D P^{\mathrm{t}} ) a matriz A.
c) Uma forma diagonal de q(x, y).
Passo 1
O enunciado dá a forma quadrática
q(x,y)=3x^{2}-6xy+11y^{2}
e pede:
– (a) a matriz simétrica A que a representa;
– (b) as matrizes P ortogonal e D diagonal tais que A=PDP^{\mathrm t};
– (c) uma forma diagonal equivalente a q.
Vamos usar que toda forma quadrática q(x,y)=[x\;y]A[x\;y]^{\mathrm t} com A simétrica admite uma diagonalização ortogonal pelo Teorema Espectral.
Passo 2
Construímos A a partir dos coeficientes:
– coeficiente de x^{2} é 3, logo a_{11}=3;
– coeficiente de y^{2} é 11, logo a_{22}=11;
– coeficiente de xy é -6, que se reparte como a_{12}+a_{21}=-6 e, em forma simétrica, a_{12}=a_{21}=-3.
A=\begin{pmatrix} 3 & -3\\\\ -3& 11 \end{pmatrix}
Passo 3
Calculamos os autovalores de A. A característica é