Seja a forma quadrática q(x, y)=3 x^{2}-6 x y+11 y^{2}. Determine:
a) A matriz simétrica A que representa q(x, y).
b) As matrizes P e D que diagonalizam ortogonalmente ( A=P D P^{\mathrm{t}} ) a matriz A.
c) Uma forma diagonal de q(x, y).

Passo 1

O enunciado dá a forma quadrática
q(x,y)=3x^{2}-6xy+11y^{2}
e pede:
– (a) a matriz simétrica A que a representa;
– (b) as matrizes P ortogonal e D diagonal tais que A=PDP^{\mathrm t};
– (c) uma forma diagonal equivalente a q.
Vamos usar que toda forma quadrática q(x,y)=[x\;y]A[x\;y]^{\mathrm t} com A simétrica admite uma diagonalização ortogonal pelo Teorema Espectral.

Passo 2

Construímos A a partir dos coeficientes:
– coeficiente de x^{2} é 3, logo a_{11}=3;
– coeficiente de y^{2} é 11, logo a_{22}=11;
– coeficiente de xy é -6, que se reparte como a_{12}+a_{21}=-6 e, em forma simétrica, a_{12}=a_{21}=-3.
A=\begin{pmatrix} 3 & -3\\\\ -3& 11 \end{pmatrix}

Passo 3

Calculamos os autovalores de A. A característica é
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}3-\lambda&-3\\\ -3&11-\lambda\end{pmatrix} =(3-\lambda)(11-\lambda)-9 =\lambda^{2}-14\lambda+24.
As raízes são
\lambda_{1}=2, \quad \lambda_{2}=12.
Para \lambda_{1}=2, resolvemos (A-2I)v=0:
\begin{pmatrix}1&-3\\\ -3&9\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =0 \;\Rightarrow\; x-3y=0 \;\Rightarrow\; v_{1}=(3,1)^{\mathrm t}.
Para \lambda_{2}=12, (A-12I)v=0
\begin{pmatrix}-9&-3\\\ -3&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =0 \;\Rightarrow\; 3x+y=0 \;\Rightarrow\; v_{2}=(1,-3)^{\mathrm t}.

Passo 4

Normalizamos v_{1} e v_{2}:
\|v_{1}\|=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}, \quad \|v_{2}\|=\sqrt{1^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{10}.
Então
u_{1}=\frac{1}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix}3\\\ 1\end{pmatrix}, \quad u_{2}=\frac{1}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix}1\\\ -3\end{pmatrix}.
Formamos
P=\begin{pmatrix}u_{1}&u_{2}\end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{10}} \begin{pmatrix} 3 & 1\\\\ 1 & -3 \end{pmatrix}, \quad D=\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&12\end{pmatrix},
que satisfaz A=PDP^{\mathrm t}. A forma diagonal correspondente é
q(u_{1},u_{2})=2\,u_{1}^{2}+12\,u_{2}^{2}.

Resposta

a) A=\begin{pmatrix} 3 & -3\\\\ -3& 11 \end{pmatrix}.
b) P=\frac{1}{\sqrt{10}} \begin{pmatrix} 3 & 1\\\\ 1 & -3 \end{pmatrix}, \quad D=\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&12\end{pmatrix}.
c) A forma diagonal é
q(u_{1},u_{2})=2\,u_{1}^{2}+12\,u_{2}^{2}.

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