Questão 2)

Considere a integral:
I=\int_{1+\mu}^{4}(5 x+\sqrt{x}) d x
a) (valor: 1,25 pontos) Quantos subintervalos m são necessários para se calcular I usando a regra dos trapézios generalizada de forma a se obter um erro inferior a 0,001 ?
b) (valor: 1,75 pontos) Calcule a integral por meio da Segunda Regra de Simpson generalizada, utilizando m=6 subintervalos. Seria possível calcular a integral com a Segunda Regra de Simpson generalizada utilizando m=7 subintervalos? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
I=\int_{1+\mu}^{4}\bigl(5x+\sqrt{x}\bigr)\,dx
usando duas regras de quadratura compostas: a) a regra dos trapézios generalizada com erro inferior a 0,001, b) a segunda regra de Simpson generalizada com m=6 subintervalos, e verificar se dá para usar m=7.

Passo 2

Para a regra dos trapézios generalizada o erro máximo satisfaz
|E_T|\le \frac{(b-a)^3}{12\,m^2}\max_{x\in[a,b]}|f''(x)|,
onde a=1+\mu, b=4, f(x)=5x+\sqrt{x}.
  1. Calcule f''(x):
f'(x)=5+\tfrac1{2\sqrt{x}}, \quad f''(x)=-\frac1{4\,x^{3/2}}.
  1. Em [1+\mu,4], \bigl|f''(x)\bigr| é decrescente, logo o máximo ocorre em x=a=1+\mu:
\max|f''|=\frac1{4\,(1+\mu)^{3/2}}.
  1. Como b-a=4-(1+\mu)=3-\mu,
|E_T|\le \frac{(3-\mu)^3}{12\,m^2}\cdot\frac1{4\,(1+\mu)^{3/2}} =\frac{(3-\mu)^3}{48\,m^2\,(1+\mu)^{3/2}}.
Impondo \displaystyle |E_T|\le0,001 obtém-se
m^2\ge\frac{(3-\mu)^3}{48\,(1+\mu)^{3/2}\,0,001} \quad\Longrightarrow\quad m\ge \sqrt{\frac{(3-\mu)^3}{48\,(1+\mu)^{3/2}\,(0,001)}}.

Passo 3

Para a segunda regra de Simpson generalizada com m=6 (que é par) usamos
h=\frac{b-a}{m}=\frac{3-\mu}{6},
e a fórmula composta
S_6=\frac{h}{3}\Bigl[f(x_0)+4\sum_{i\,\text{ímpar}}f(x_i)+2\sum_{i\,\text{par},\,i\neq0,6}f(x_i)+f(x_6)\Bigr],í
onde x_i=1+\mu+i\,h e f(x)=5x+\sqrt{x}.
Isso dá
S_6 =\frac{3-\mu}{18}\Bigl[ f(1+\mu) +4\,f(1+\mu+h) +2\,f(1+\mu+2h) +4\,f(1+\mu+3h) +2\,f(1+\mu+4h) +4\,f(1+\mu+5h) +f(4) \Bigr].

Passo 4

A segunda regra de Simpson generalizada exige que m seja par, pois cada bloco de Simpson usa sempre dois subintervalos. Portanto não é possível usar m=7.

Resposta

a) Para garantir erro <0,001 na regra dos trapézios generalizada basta escolher
m\ge \sqrt{\frac{(3-\mu)^3}{48\,(1+\mu)^{3/2}\,(0,001)}}.
b) Com m=6 obtemos
S_6 =\frac{3-\mu}{18}\Bigl[ f(1+\mu) +4\,f(1+\mu+h) +2\,f(1+\mu+2h) +4\,f(1+\mu+3h) +2\,f(1+\mu+4h) +4\,f(1+\mu+5h) +f(4) \Bigr], \quad h=\frac{3-\mu}{6}.
Não se pode usar m=7 na regra de Simpson porque ela exige número de subintervalos par.

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