Questão 3)

Dada a equação x^{3}-(1+\mu) x-\mu=0
a) (valor: \mathbf{1 , 2 5} ponto) Defina um intervalo que contenha a maior raiz positiva e prove que essa raiz de fato existe e é única.
b) (valor: 0,75 ponto) Qual o número mínimo necessário de iterações do Método da Bisseção para obter uma precisão \epsilon=0,001 no intervalo definido no item \mathbf{a} ?
c) (valor: 1,5 pontos) Com o mesmo intervalo do item a, calcule uma estimativa para a raiz fazendo três iterações do método da Falsa Posição.
d) (valor: \mathbf{2 , 0} pontos) Com o mesmo intervalo do item \mathbf{a}, calcule uma estimativa para a raiz fazendo três iterações do método de Newton-Raphson.

Passo 1

O enunciado trata de encontrar a maior raiz positiva da equação
f(x)=x^{3}-(1+\mu)\,x-\mu=0
onde \mu>0. O conteúdo é:
– Garantir existência e unicidade de raiz num intervalo (Teorema do Valor Intermediário e análise de f');
– Estimar o número de iterações do Método da Bisseção para dado \varepsilon;
– Três iterações do Método da Falsa Posição;
– Três iterações do Método de Newton–Raphson.

Passo 2

Definimos o intervalo [\;a,b\;]=[\,1,\;1+\mu\,]. Vejamos os sinais:
f(1)=1-(1+\mu)-\mu=-2\mu<0,
f(1+\mu)=(1+\mu)^{3}-(1+\mu)^{2}-\mu =\underbrace{(1+3\mu+3\mu^{2}+\mu^{3})}_{(1+\mu)^{3}} -\underbrace{(1+2\mu+\mu^{2})}_{(1+\mu)^{2}} -\mu =\mu^{3}+2\mu^{2}>0.
Como f é contínua, existe ao menos uma raiz em (1,1+\mu).
Para unicidade na parte positiva, note
f'(x)=3x^{2}-(1+\mu),
que só tem raiz positiva em x=\sqrt{\tfrac{1+\mu}{3}}.
Calculando
f\!\bigl(\sqrt{\tfrac{1+\mu}{3}}\bigr) =-\frac{2(1+\mu)^{3/2}}{3\sqrt3}-\mu<0,
logo f cai até um único mínimo negativo e depois cresce para +\infty. Assim há exatamente uma cruzamento em (1,1+\mu).

Passo 3

Para o Método da Bisseção, a cada iteração o comprimento do intervalo cai pela metade. Queremos
\frac{b-a}{2^{n}}\le\varepsilon \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mu}{2^{n}}\le0,001 \quad\Longrightarrow\quad 2^{n}\ge\frac{\mu}{0,001}=1000\,\mu.
Logo o número mínimo de iterações é
n=\biggl\lceil\log_{2}(1000\,\mu)\biggr\rceil.

Passo 4

Método da Falsa Posição em [a_{0},b_{0}]=[1,1+\mu]. Denotamos
f(a_{0})=-2\mu,\quad f(b_{0})=\mu^{3}+2\mu^{2}.
A primeira aproximação é
x_{1} =\frac{a_{0}\,f(b_{0})-b_{0}\,f(a_{0})}{f(b_{0})-f(a_{0})} =1+\frac{2\mu^{2}}{\mu^{3}+2\mu^{2}+2\mu} =1+\frac{2\mu}{\mu^{2}+2\mu+2}.
Avalia-se f(x_{1}) e verifica-se que seu sinal continua o mesmo de f(a_{0}), isto é, negativo, de modo que o novo intervalo é [x_{1},\,b_{0}].
Na segunda iteração, escrevemos
x_{2} =\frac{x_{1}\,f(b_{0})-b_{0}\,f(x_{1})}{f(b_{0})-f(x_{1})},
e na terceira iteração
x_{3} =\frac{x_{2}\,f(b_{0})-b_{0}\,f(x_{2})}{f(b_{0})-f(x_{2})}.
Essas fórmulas, em função de \mu, fornecem a estimativa após três iterações.

Passo 5

Método de Newton–Raphson:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
com f'(x)=3x^{2}-(1+\mu). Escolhemos como ponto inicial o meio do intervalo:
x_{0}=1+\frac{\mu}{2}.
Então
x_{1} =x_{0}-\frac{x_{0}^{3}-(1+\mu)x_{0}-\mu}{3x_{0}^{2}-(1+\mu)},
x_{2} =x_{1}-\frac{x_{1}^{3}-(1+\mu)x_{1}-\mu}{3x_{1}^{2}-(1+\mu)},
x_{3} =x_{2}-\frac{x_{2}^{3}-(1+\mu)x_{2}-\mu}{3x_{2}^{2}-(1+\mu)}.
Após essas três iterações, x_{3} é a estimativa buscada.

Resposta

a) Intervalo [1,\,1+\mu], pois f(1)<0 e f(1+\mu)>0; única raiz positiva por análise de f'.
b)
n=\bigl\lceil\log_{2}(1000\,\mu)\bigr\rceil.
c) Aproximações pela Falsa Posição:
x_{1}=1+\frac{2\mu}{\mu^{2}+2\mu+2},\quad x_{2}=\frac{x_{1}f(1+\mu)-(1+\mu)f(x_{1})}{f(1+\mu)-f(x_{1})},\quad x_{3}=\frac{x_{2}f(1+\mu)-(1+\mu)f(x_{2})}{f(1+\mu)-f(x_{2})}.
d) Aproximações por Newton–Raphson com x_{0}=1+\tfrac{\mu}{2}:
x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{3x_{0}^{2}-(1+\mu)},\; x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{3x_{1}^{2}-(1+\mu)},\; x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_{2})}{3x_{2}^{2}-(1+\mu)}.

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