Dada a equação x^{3}-(1+\mu) x-\mu=0
a) (valor: \mathbf{1 , 2 5} ponto) Defina um intervalo que contenha a maior raiz positiva e prove que essa raiz de fato existe e é única.
b) (valor: 0,75 ponto) Qual o número mínimo necessário de iterações do Método da Bisseção para obter uma precisão \epsilon=0,001 no intervalo definido no item \mathbf{a} ?
c) (valor: 1,5 pontos) Com o mesmo intervalo do item a, calcule uma estimativa para a raiz fazendo três iterações do método da Falsa Posição.
d) (valor: \mathbf{2 , 0} pontos) Com o mesmo intervalo do item \mathbf{a}, calcule uma estimativa para a raiz fazendo três iterações do método de Newton-Raphson.
Passo 1
O enunciado trata de encontrar a maior raiz positiva da equação
f(x)=x^{3}-(1+\mu)\,x-\mu=0
onde \mu>0. O conteúdo é:
– Garantir existência e unicidade de raiz num intervalo (Teorema do Valor Intermediário e análise de f');
– Estimar o número de iterações do Método da Bisseção para dado \varepsilon;
– Três iterações do Método da Falsa Posição;
– Três iterações do Método de Newton–Raphson.
Passo 2
Definimos o intervalo [\;a,b\;]=[\,1,\;1+\mu\,]. Vejamos os sinais:
Avalia-se f(x_{1}) e verifica-se que seu sinal continua o mesmo de f(a_{0}), isto é, negativo, de modo que o novo intervalo é [x_{1},\,b_{0}].
Na segunda iteração, escrevemos