Determine a série de Fourier de f(x) que supomos possuir o período 2 \pi.
f(x)=\left\{\begin{array}{rll}0 & \text { se } & -\pi<x<0 \\\\ -1 & \text { se } & 0<x<\frac{\pi}{2} \\\\ 1 & \text { se } & \frac{\pi}{2}<x<\pi\end{array}\right.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos expandir em série de Fourier de período 2\pi\) a função \[f(x)= \begin{cases} 0, & -\pi < x < 0,\\\\ -1, & 0 < x < \tfrac{\pi}{2},\\\\ 1, & \tfrac{\pi}{2} < x < \pi, \end{cases}
usando a forma geral
f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\bigr).
Para isso, vamos precisar das fórmulas de a_{0}\], \(a_{n} e b_{n} baseadas na ortogonalidade de \cos(nx) e \sin(nx).

Passo 2

As fórmulas dos coeficientes são
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,
a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,
b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.
Como f(x) é definida por tramos, cada integral será somada nos três intervalos: [-\,\pi,0], [0,\tfrac{\pi}{2}] e [\tfrac{\pi}{2},\pi].

Passo 3

Cálculo de a_{0}:
a_{0} =\frac{1}{\pi}\Biggl(\int_{-\pi}^{0}0\,dx+\int_{0}^{\pi/2}(-1)\,dx+\int_{\pi/2}^{\pi}1\,dx\Biggr) =\frac{1}{\pi}\Bigl(0 -\tfrac{\pi}{2} +\bigl(\pi-\tfrac{\pi}{2}\bigr)\Bigr) =\frac{1}{\pi}\,(0)=0.

Passo 4

Cálculo de a_{n} para n\ge1:
a_{n} =\frac{1}{\pi}\Bigl(-\int_{0}^{\pi/2}\cos(nx)\,dx+\int_{\pi/2}^{\pi}\cos(nx)\,dx\Bigr).
Usando \displaystyle\int\cos(nx)\,dx=\frac{\sin(nx)}{n}, vem
a_{n} =-\frac{1}{\pi}\,\frac{\sin(n\pi/2)}{n} +\frac{1}{\pi}\,\frac{\sin(n\pi)-\sin(n\pi/2)}{n} =-\frac{2}{n\pi}\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr).

Passo 5

Cálculo de b_{n} para n\ge1:
b_{n} =\frac{1}{\pi}\Bigl(-\int_{0}^{\pi/2}\sin(nx)\,dx+\int_{\pi/2}^{\pi}\sin(nx)\,dx\Bigr).
Com \displaystyle\int\sin(nx)\,dx=-\frac{\cos(nx)}{n} obtemos
b_{n} =\frac{1}{n\pi}\Bigl[\,2\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr) -\bigl(1+(-1)^{n}\bigr)\Bigr].
Esse resultado se anula sempre que n for ímpar, e dá termos não nulos apenas para n par de certa forma periódica em n.

Passo 6

Concluindo, a série de Fourier de f(x) é
f(x) =\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[ -\frac{2}{n\pi}\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\cos(nx) +\frac{1}{n\pi}\Bigl(2\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)-\bigl(1+(-1)^{n}\bigr)\Bigr)\sin(nx) \Bigr].

Resposta

f(x) =\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[ -\frac{2}{n\pi}\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\cos(nx) +\frac{1}{n\pi}\Bigl(2\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)-\bigl(1+(-1)^{n}\bigr)\Bigr)\sin(nx) \Bigr].

Exercícios relacionados