Questão 4 Considere o \mathbb{R}-espaço vetorial \mathbb{R}^{4} com o produto interno canônico. Sejam V e W dois subespaços vetoriais de \mathbb{R}^{4}, ambos de dimensão 2 , e tais que V \cap W=\{0\}. É correto afirmar que V^{\perp}=W e que W^{\perp}=V ? Prove ou dê um contra-exemplo.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se, em \mathbb{R}^4 com o produto interno canônico, dados dois subespaços V e W de dimensão 2 tais que V\cap W=\{0\}, vale sempre
V^{\perp}=W \quad\text{e}\quad W^{\perp}=V.
O conteúdo envolve definição de subespaço ortogonal e cálculo de ortogonais em espaço de dimensão finita.

Passo 2

Vamos construir um contra-exemplo explícito. Defina
V = \mathrm{span}\{\,e_{1},e_{2}\}, \quad W = \mathrm{span}\{\,e_{1}+e_{3},\;e_{2}+e_{4}\},
onde e_{1},e_{2},e_{3},e_{4} é a base canônica de \mathbb{R}^{4}. Claramente \dim V = \dim W = 2.

Passo 3

Mostramos que V\cap W=\{0\}. Se
v\in V\cap W,
então existem a,b,s,t\in\mathbb{R} tais que
v = a\,e_{1} + b\,e_{2} \quad\text{e}\quad v = s\,(e_{1}+e_{3}) + t\,(e_{2}+e_{4}) = (s,\,t,\,s,\,t).
Comparando coordenadas:
(a,b,0,0) = (s,t,s,t) \quad\Longrightarrow\quad s=0,\;t=0,\;a=0,\;b=0.
Logo v=0 e V\cap W=\{0\}.

Passo 4

Calculamos V^{\perp}. Por definição,
V^{\perp} = \{\,x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) \mid x\cdot e_{1}=0,\;x\cdot e_{2}=0\}.
Isto impõe x_{1}=0 e x_{2}=0, de modo que
V^{\perp} = \{(0,0,x_{3},x_{4})\} = \mathrm{span}\{\,e_{3},e_{4}\}.
Como \mathrm{span}\{e_{3},e_{4}\}\neq \mathrm{span}\{e_{1}+e_{3},e_{2}+e_{4}\}=W, concluímos que V^{\perp}\neq W.

Passo 5

De modo análogo nota-se que
W^{\perp} = \{x\mid x\cdot (e_{1}+e_{3})=0,\;x\cdot (e_{2}+e_{4})=0\}
é o subespaço \{(x_{1},x_{2},-x_{1},-x_{2})\}, que também não coincide com V=\mathrm{span}\{e_{1},e_{2}\}.

Resposta

Não. Em geral, mesmo com \dim V=\dim W=2 e V\cap W=\{0\}, não temos V^{\perp}=W nem W^{\perp}=V, conforme o contra-exemplo acima.

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