Questão 4 Considere o
-espaço vetorial
com o produto interno canônico. Sejam
e
dois subespaços vetoriais de
, ambos de dimensão 2 , e tais que
. É correto afirmar que
e que
? Prove ou dê um contra-exemplo.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se, em
com o produto interno canônico, dados dois subespaços
e
de dimensão
tais que
, vale sempre
O conteúdo envolve definição de subespaço ortogonal e cálculo de ortogonais em espaço de dimensão finita.
Passo 2
Vamos construir um contra-exemplo explícito. Defina
onde
é a base canônica de
. Claramente
.
Passo 3
Mostramos que
. Se
então existem
tais que
Comparando coordenadas:
Logo
e
.
Passo 4
Calculamos
. Por definição,
Isto impõe
e
, de modo que
Como
, concluímos que
.
Passo 5
De modo análogo nota-se que
é o subespaço
, que também não coincide com
.
Resposta
Não. Em geral, mesmo com
e
, não temos
nem
, conforme o contra-exemplo acima.