Sabendo que
\|U\|=2 \sqrt{2},\|V\|=4 e 45^{\circ}
é o ângulo entre U e V, calcule
U \cdot(U+V).

Passo 1

O enunciado dá dois vetores U e V com \|U\|=2\sqrt{2}, \|V\|=4 e o ângulo entre eles é 45^\circ. Pede-se U\cdot(U+V). O conteúdo usado é a propriedade distributiva do produto interno e a fórmula do produto interno em termos de norma e ângulo.

Passo 2

Pela distributividade do produto interno, temos
U\cdot(U+V)=U\cdot U+U\cdot V.

Passo 3

Calculamos U\cdot U usando a norma de U:
U\cdot U=\|U\|^2=(2\sqrt{2})^2=8.

Passo 4

Para U\cdot V usamos a fórmula
U\cdot V=\|U\|\;\|V\|\cos(45^\circ)
e substituímos os valores:
U\cdot V=(2\sqrt{2})\cdot4\cdot\cos45^\circ =(2\sqrt{2})\cdot4\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} =8.

Passo 5

Somando os resultados:
U\cdot(U+V)=8+8=16.

Resposta

16

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